第9項が-163、第24項が-103である等差数列 $\{a_n\}$ があるとき、この数列の値が初めて正の数となるのは第何項かを求める問題です。

1. 問題の内容

第9項が-163、第24項が-103である等差数列 $\{a_n\}$ があるとき、この数列の値が初めて正の数となるのは第何項かを求める問題です。

2. 解き方の手順

等差数列の一般項を $a_n = a_1 + (n-1)d$ とします。ここで、$a_1$ は初項、$d$ は公差です。

問題文より、第9項 $a_9 = -163$ 、第24項 $a_{24} = -103$ であるので、以下の連立方程式が成り立ちます。

$a_9 = a_1 + 8d = -163$

$a_{24} = a_1 + 23d = -103$

この連立方程式を解きます。

2番目の式から1番目の式を引くと、

$15d = 60$

$d = 4$

$d = 4$ を $a_1 + 8d = -163$ に代入すると、

$a_1 + 8(4) = -163$

$a_1 + 32 = -163$

$a_1 = -195$

したがって、一般項は $a_n = -195 + (n-1)4$ となります。

これが初めて正の数になるのは、 $a_n > 0$ となる最小の $n$ を求めることになります。

$-195 + (n-1)4 > 0$

$-195 + 4n - 4 > 0$

$4n > 199$

$n > \frac{199}{4}$

$n > 49.75$

$n$ は整数であるため、初めて正の数になるのは $n = 50$ のときです。

3. 最終的な答え

第50項