複素数 $z$ があり、$z^2 = 5 + 12i$ を満たすような $z$ を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ があり、$z^2 = 5 + 12i$ を満たすような $z$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$z = a + bi$ （$a, b$ は実数）とおきます。

$z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$

これが $5 + 12i$ に等しいので、

$a^2 - b^2 = 5$

$2ab = 12$

すなわち、

$ab = 6$

$b = \frac{6}{a}$

これを $a^2 - b^2 = 5$ に代入すると、

$a^2 - (\frac{6}{a})^2 = 5$

$a^2 - \frac{36}{a^2} = 5$

両辺に $a^2$ をかけると、

$a^4 - 36 = 5a^2$

$a^4 - 5a^2 - 36 = 0$

$(a^2 - 9)(a^2 + 4) = 0$

$a$ は実数なので、$a^2 \ge 0$ より、$a^2 + 4 \ne 0$

よって、$a^2 - 9 = 0$

$a^2 = 9$

$a = \pm 3$

$a = 3$ のとき、$b = \frac{6}{3} = 2$

$a = -3$ のとき、$b = \frac{6}{-3} = -2$

したがって、$z = 3 + 2i$ または $z = -3 - 2i$

3. 最終的な答え

$z = 3 + 2i, -3 - 2i$