立方体があり、底面の正方形の各辺の長さを1cmずつ縮め、高さを3cmだけ増やしたところ、体積が変わらなかった。立方体の1辺の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

立方体があり、底面の正方形の各辺の長さを1cmずつ縮め、高さを3cmだけ増やしたところ、体積が変わらなかった。立方体の1辺の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

立方体の1辺の長さを $x$ cmとします。

立方体の体積は $x^3$ 立方センチメートルです。

底面の正方形の各辺を1cmずつ縮めると、$x - 1$ cmになります。

高さを3cmだけ増やすと、$x + 3$ cmになります。

したがって、新しい立体の体積は $(x - 1)(x - 1)(x + 3) = (x - 1)^2 (x + 3)$ 立方センチメートルです。

体積が変わらないので、以下の等式が成り立ちます。

$x^3 = (x - 1)^2 (x + 3)$

$x^3 = (x^2 - 2x + 1)(x + 3)$

$x^3 = x^3 + 3x^2 - 2x^2 - 6x + x + 3$

$x^3 = x^3 + x^2 - 5x + 3$

$0 = x^2 - 5x + 3$

この二次方程式を解の公式を使って解きます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{2}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$

ここで、$x > 1$ である必要があるため、$x = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}$ は解として適切ではありません。したがって、$x = \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$ が解となります。

3. 最終的な答え

立方体の1辺の長さは $\frac{5 + \sqrt{13}}{2}$ cmです。