$x^2 + 8x + a$ が整数 $b$ を用いて $(x+b)(x-4)$ と因数分解できるとき、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

代数学二次方程式因数分解係数比較
2025/6/16

1. 問題の内容

x2+8x+ax^2 + 8x + a が整数 bb を用いて (x+b)(x4)(x+b)(x-4) と因数分解できるとき、aabb の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

x2+8x+ax^2 + 8x + a(x+b)(x4)(x+b)(x-4) が等しいので、(x+b)(x4)(x+b)(x-4) を展開して係数を比較します。
(x+b)(x4)=x24x+bx4b=x2+(b4)x4b(x+b)(x-4) = x^2 - 4x + bx - 4b = x^2 + (b-4)x - 4b
この式と x2+8x+ax^2 + 8x + a の係数を比較すると、以下の2つの式が得られます。
b4=8b - 4 = 8
a=4ba = -4b
まず、最初の式 b4=8b - 4 = 8 から bb の値を求めます。
b=8+4=12b = 8 + 4 = 12
次に、a=4ba = -4bb=12b=12 を代入して、aa の値を求めます。
a=4×12=48a = -4 \times 12 = -48

3. 最終的な答え

a=48a = -48
b=12b = 12

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