$0 < a < 1$ のとき、曲線 $y = \log x$ と2直線 $x = a$, $x = a + \frac{3}{2}$, および $x$ 軸で囲まれる2つの部分の面積の和を $S(a)$ とする。 (1) $S(a)$ を $a$ で表せ。 (2) $S(a)$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 < a < 1$ のとき、曲線 $y = \log x$ と2直線 $x = a$, $x = a + \frac{3}{2}$, および $x$ 軸で囲まれる2つの部分の面積の和を $S(a)$ とする。

(1) $S(a)$ を $a$ で表せ。

(2) $S(a)$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $0 < a < 1$ なので、$\log x < 0$ であることに注意する。面積は積分の絶対値で計算される。

$S(a) = \left| \int_a^1 \log x \, dx \right| + \left| \int_1^{a+\frac{3}{2}} \log x \, dx \right| = - \int_a^1 \log x \, dx + \int_1^{a+\frac{3}{2}} \log x \, dx$

$\int \log x \, dx = x \log x - x + C$ より

$S(a) = - [x\log x - x]_a^1 + [x \log x - x]_1^{a+\frac{3}{2}} = -(1\log 1 - 1 - a\log a + a) + ((a+\frac{3}{2})\log(a+\frac{3}{2}) - a - \frac{3}{2} - (1\log 1 - 1)) = -(-1 - a\log a + a) + (a+\frac{3}{2})\log(a+\frac{3}{2}) - a - \frac{3}{2} + 1 = 1 + a\log a - a + (a+\frac{3}{2})\log(a+\frac{3}{2}) - a - \frac{1}{2} = a\log a + (a+\frac{3}{2})\log(a+\frac{3}{2}) - 2a + \frac{1}{2}$

$S(a) = a \log a + (a+\frac{3}{2}) \log(a+\frac{3}{2}) - 2a + \frac{1}{2}$

(2) $S(a)$ の最小値を求める。

$S'(a) = \log a + a \cdot \frac{1}{a} + \log(a+\frac{3}{2}) + (a+\frac{3}{2}) \cdot \frac{1}{a+\frac{3}{2}} - 2 = \log a + 1 + \log(a+\frac{3}{2}) + 1 - 2 = \log a + \log(a+\frac{3}{2}) = \log(a(a+\frac{3}{2})) = \log(a^2 + \frac{3}{2}a)$

$S'(a) = 0$ のとき、$\log(a^2 + \frac{3}{2}a) = 0$ より $a^2 + \frac{3}{2}a = 1$

$2a^2 + 3a - 2 = 0$

$(2a-1)(a+2) = 0$

$a = \frac{1}{2}, -2$

$0 < a < 1$ より $a = \frac{1}{2}$

$S''(a) = \frac{1}{a} + \frac{1}{a+\frac{3}{2}} = \frac{1}{a} + \frac{2}{2a+3}$

$S''(\frac{1}{2}) = 2 + \frac{2}{1+3} = 2 + \frac{1}{2} > 0$

したがって $a = \frac{1}{2}$ で $S(a)$ は最小値をとる。

$S(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \log(\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}+\frac{3}{2})\log(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}) - 2\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \log(\frac{1}{2}) + 2\log(2) - 1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\log 2 + 2\log 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\log 2 - \frac{1}{2} = \frac{3\log 2 - 1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $S(a) = a \log a + (a+\frac{3}{2}) \log(a+\frac{3}{2}) - 2a + \frac{1}{2}$

(2) $S(a)$ の最小値は $\frac{3 \log 2 - 1}{2}$