△ABCにおいて、$BC=5$, $CA=3$, $\cos{C}=\frac{1}{3}$である。 (1) $AB$の長さと△ABCの面積を求める。 (2) △ABC≡△ADEであり、点Eは辺BC上にある。また、辺DEとABの交点をFとする。 (i) $CE$の長さを求める。 (ii) ∠CAEに等しいものを選択肢から選ぶ。 (iii) $BD$の長さを求める。 (iv) △DBEの外接円を考えることにより、$AF$の長さを求める。

1. 問題の内容

△ABCにおいて、$BC=5$, $CA=3$, $\cos{C}=\frac{1}{3}$である。

(1) $AB$の長さと△ABCの面積を求める。

(2) △ABC≡△ADEであり、点Eは辺BC上にある。また、辺DEとABの交点をFとする。

(i) $CE$の長さを求める。

(ii) ∠CAEに等しいものを選択肢から選ぶ。

(iii) $BD$の長さを求める。

(iv) △DBEの外接円を考えることにより、$AF$の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理より、

$AB^2 = BC^2 + CA^2 - 2 \cdot BC \cdot CA \cdot \cos{C}$

$AB^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3} = 25 + 9 - 10 = 24$

$AB = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

次に、$\sin^2{C} + \cos^2{C} = 1$より

$\sin^2{C} = 1 - \cos^2{C} = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin{C} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

△ABCの面積は $\frac{1}{2} \cdot BC \cdot CA \cdot \sin{C} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 5\sqrt{2}$

(2) (i) $BE = BC - CE = 5 - 2 = 3$

△ABC≡△ADEより、$AC = AE = 3$なので、△ACEは二等辺三角形である。

$\angle ACB = \angle AED$

(ii) $\angle CAE = \angle BAD$

△ABCと△ADEは合同なので、$\angle BAC = \angle DAE$。

$\angle BAC - \angle FAC = \angle DAE - \angle FAC$

$\angle BAF = \angle DAC$

(iii) △ABC≡△ADEより、$AB = AD = 2\sqrt{6}$。

△ABDにおいて、余弦定理より

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{\angle BAD}$

$\angle BAD = \angle CAE$

$\cos{\angle BAC} = \frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{24+9-25}{2 \cdot 2\sqrt{6} \cdot 3} = \frac{8}{12\sqrt{6}} = \frac{2}{3\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{9}$

ここで、$\triangle ACE$ において、$AC = AE = 3, CE = 2$ なので、

$\cos{\angle CAE} = \frac{AC^2+AE^2-CE^2}{2 \cdot AC \cdot AE} = \frac{9+9-4}{2 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9}$

$BD^2 = (2\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{6})^2 - 2 (2\sqrt{6}) (2\sqrt{6}) \frac{7}{9} = 24+24 - 2(24)\frac{7}{9} = 48 - \frac{336}{9} = 48 - \frac{112}{3} = \frac{144-112}{3} = \frac{32}{3}$

$BD = \sqrt{\frac{32}{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$

(iv) △DBEの外接円を考える。正弦定理より $\frac{DE}{\sin{\angle DBE}} = 2R$

$DE = BC = 5$。

$\angle DBE = \angle ABC$。

$\sin{\angle ABC} = \frac{AC \sin C}{AB} = \frac{3 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 2R$より、$2R = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3}$

$DE = 5$

方べきの定理より、$BF \cdot BA = BE \cdot BC$

$BF \cdot 2\sqrt{6} = 3 \cdot 5 = 15$

$BF = \frac{15}{2\sqrt{6}} = \frac{15\sqrt{6}}{12} = \frac{5\sqrt{6}}{4}$

$AF = AB - BF = 2\sqrt{6} - \frac{5\sqrt{6}}{4} = \frac{8\sqrt{6} - 5\sqrt{6}}{4} = \frac{3\sqrt{6}}{4} = \frac{3\sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $AB = 2\sqrt{6}$、△ABCの面積は$5\sqrt{2}$

(2) (i) $CE=2$ (ii) $\angle CAE = \angle BAD$、選択肢は② (iii) $BD = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ (iv) $AF = \frac{3\sqrt{6}}{4} = \frac{3\sqrt{6}}{4}$

よって、空欄を埋めると

ア=2, イ=6, ウ=5, エ=2

オ=2

カ=2

キ=4, ク=6, ケ=3

コ=3, サ=6, シ=4

$AF = \frac{3\sqrt{6}}{4}$