媒介変数 $t$ を用いて、$x = \cos t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le 2\pi$) で定義される曲線 $C$ について、以下の問いに答えます。 (1) $y$ を $x$ の関数で表し、$C$ の概形を描きます。 (2) $C$ で囲まれる図形の面積を求めます。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて、$x = \cos t$, $y = \sin 2t$ ($0 \le t \le 2\pi$) で定義される曲線 $C$ について、以下の問いに答えます。

(1) $y$ を $x$ の関数で表し、$C$ の概形を描きます。

(2) $C$ で囲まれる図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y$ を $x$ の関数として表す。

$y = \sin 2t = 2 \sin t \cos t$ である。また、$x = \cos t$ であるから、$\sin t = \pm \sqrt{1 - \cos^2 t} = \pm \sqrt{1 - x^2}$ となる。

したがって、$y = 2(\pm \sqrt{1 - x^2}) x = \pm 2x \sqrt{1 - x^2}$ となる。ここで $-1 \le x \le 1$ である。

$C$ の概形を描く。

$y = 2x\sqrt{1-x^2}$ と $y = -2x\sqrt{1-x^2}$ の概形を考える。

$y = 2x\sqrt{1-x^2}$ は $0 \le t \le \pi$ に対応し、 $y = -2x\sqrt{1-x^2}$ は $\pi \le t \le 2\pi$ に対応する。

$x = \cos t$, $y = \sin 2t$ であるので、$t = 0$ のとき $(1, 0)$, $t = \pi/2$ のとき $(0, 0)$, $t = \pi$ のとき $(-1, 0)$, $t = 3\pi/2$ のとき $(0, 0)$, $t = 2\pi$ のとき $(1, 0)$ となる。

また、$dy/dt = 2\cos 2t$ なので、$t = \pi/4$ で極大値 $1$ をとり、$t = 3\pi/4$ で極小値 $-1$ をとる。

$t = 5\pi/4$ で極大値 $1$ をとり、$t = 7\pi/4$ で極小値 $-1$ をとる。

(2) $C$ で囲まれる図形の面積を求める。

曲線 $C$ によって囲まれる領域は、$y = 2x\sqrt{1 - x^2}$ と $y = -2x\sqrt{1 - x^2}$ で囲まれた領域である。これは $x$ 軸に関して対称である。したがって、面積 $S$ は、

$S = 2 \int_{-1}^{1} 2x\sqrt{1 - x^2} dx$

と表せる。ここで、$f(x) = 2x\sqrt{1 - x^2}$ は奇関数なので、$\int_{-1}^{1} 2x\sqrt{1 - x^2} dx = 0$ となる。しかし、面積を求めたいので、積分範囲を適切に分割する必要がある。

$y = \sin 2t$ は $t=\pi/2$ で $0$ となる。$x = \cos t$ なので $x = 0$ となる。

$S = 2 \left| \int_{-1}^{1} 2x\sqrt{1-x^2} dx \right|$

$x = \cos t$ と置換すると、$dx = -\sin t dt$ となる。

$\int 2x \sqrt{1-x^2} dx = \int 2 \cos t \sqrt{1 - \cos^2 t} (-\sin t) dt = \int 2 \cos t \sin t (-\sin t) dt = - \int 2 \cos t \sin^2 t dt$

$u = \sin t$ と置換すると $du = \cos t dt$ なので、$- \int 2 u^2 du = -2 \frac{u^3}{3} + C = -\frac{2}{3} \sin^3 t + C = -\frac{2}{3} (1 - x^2)^{3/2} + C$

したがって、

$\int_{-1}^{0} 2x \sqrt{1-x^2} dx = \left[ -\frac{2}{3} (1-x^2)^{3/2} \right]_{-1}^{0} = -\frac{2}{3}$

$\int_{0}^{1} 2x \sqrt{1-x^2} dx = \left[ -\frac{2}{3} (1-x^2)^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$

$S = 2 \left( \left| -\frac{2}{3} \right| + \left| \frac{2}{3} \right| \right) = 2\cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \pm 2x\sqrt{1-x^2}$

(2) $\frac{8}{3}$