与えられた4つの式を計算します。 (1) $\sqrt[4]{2}\sqrt[4]{8}$ (2) $\frac{\sqrt[3]{12}}{\sqrt[3]{3}}$ (3) $(\sqrt[4]{5})^3$ (4) $\sqrt[3]{\sqrt{27}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を計算します。

(1) $\sqrt[4]{2}\sqrt[4]{8}$

(2) $\frac{\sqrt[3]{12}}{\sqrt[3]{3}}$

(3) $(\sqrt[4]{5})^3$

(4) $\sqrt[3]{\sqrt{27}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt[4]{2}\sqrt[4]{8}$

根号の中身を掛け合わせます。

$\sqrt[4]{2\cdot8} = \sqrt[4]{16}$

$16 = 2^4$なので

$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$

(2) $\frac{\sqrt[3]{12}}{\sqrt[3]{3}}$

根号の中身を割り算します。

$\sqrt[3]{\frac{12}{3}} = \sqrt[3]{4}$

(3) $(\sqrt[4]{5})^3$

$(\sqrt[4]{5})^3 = 5^{\frac{3}{4}}$

あるいは$(\sqrt[4]{5})^3 = \sqrt[4]{5^3} = \sqrt[4]{125}$

(4) $\sqrt[3]{\sqrt{27}}$

まず内側の$\sqrt{27}$を計算します。

$\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3\sqrt{3}$

したがって、

$\sqrt[3]{\sqrt{27}} = \sqrt[3]{3\sqrt{3}} = \sqrt[3]{3\cdot3^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[3]{3^{\frac{3}{2}}} = (3^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $2$

(2) $\sqrt[3]{4}$

(3) $\sqrt[4]{125}$ または $5^{\frac{3}{4}}$

(4) $\sqrt{3}$