$a < b < c$ のとき、平均値の定理を用いて不等式 $\frac{e^b - e^a}{b - a} < \frac{e^c - e^b}{c - b}$ を示す。

1. 問題の内容

$a < b < c$ のとき、平均値の定理を用いて不等式 $\frac{e^b - e^a}{b - a} < \frac{e^c - e^b}{c - b}$ を示す。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = e^x$ を考える。

区間 $[a, b]$ において平均値の定理を適用すると、

$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{e^b - e^a}{b - a} = f'(c_1) = e^{c_1}$$

を満たす $c_1$ が $a < c_1 < b$ に存在する。

同様に、区間 $[b, c]$ において平均値の定理を適用すると、

$$\frac{f(c) - f(b)}{c - b} = \frac{e^c - e^b}{c - b} = f'(c_2) = e^{c_2}$$

を満たす $c_2$ が $b < c_2 < c$ に存在する。

問題の不等式は $e^{c_1} < e^{c_2}$ と同値である。

指数関数 $e^x$ は単調増加であるから、$c_1 < c_2$ を示せばよい。

$a < c_1 < b$ かつ $b < c_2 < c$ より、$c_1 < b < c_2$ である。

したがって、$c_1 < c_2$ が成り立つ。

よって、$e^{c_1} < e^{c_2}$ が成り立ち、$\frac{e^b - e^a}{b - a} < \frac{e^c - e^b}{c - b}$ が示された。

3. 最終的な答え

$a < b < c$ のとき、$\frac{e^b - e^a}{b - a} < \frac{e^c - e^b}{c - b}$ が成り立つ。