与えられた積分の問題を解きます。 積分は $\int \frac{1}{x^3} e^{-\frac{1}{x}} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。

積分は $\int \frac{1}{x^3} e^{-\frac{1}{x}} dx$ です。

2. 解き方の手順

この積分は置換積分で解くことができます。

$u = -\frac{1}{x}$ と置くと、 $\frac{du}{dx} = \frac{1}{x^2}$ となります。

したがって、$du = \frac{1}{x^2} dx$ となります。

積分を書き換えるために、$\frac{1}{x^3} dx = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^2} dx$ と考えます。

$u = -\frac{1}{x}$ より、 $x = -\frac{1}{u}$ です。したがって、$\frac{1}{x} = -u$ となります。

したがって、 $\frac{1}{x^3} dx = -u \cdot du$ となります。

積分は次のようになります。

$$\int \frac{1}{x^3} e^{-\frac{1}{x}} dx = \int e^u (-u) du = -\int u e^u du$$

部分積分を用いて $\int u e^u du$ を計算します。

$v = u$ と $dw = e^u du$ と置くと、$dv = du$ と $w = e^u$ となります。

部分積分の公式は $\int v dw = vw - \int w dv$ です。

$$\int u e^u du = ue^u - \int e^u du = ue^u - e^u + C$$

したがって、

$$-\int u e^u du = -(ue^u - e^u) + C = -ue^u + e^u + C = e^u - ue^u + C$$

$u = -\frac{1}{x}$ を代入すると、

$$e^{-\frac{1}{x}} - \left(-\frac{1}{x}\right)e^{-\frac{1}{x}} + C = e^{-\frac{1}{x}} + \frac{1}{x}e^{-\frac{1}{x}} + C = e^{-\frac{1}{x}}\left(1 + \frac{1}{x}\right) + C$$

3. 最終的な答え

$e^{-\frac{1}{x}} + \frac{1}{x} e^{-\frac{1}{x}} + C = e^{-\frac{1}{x}}(1 + \frac{1}{x}) + C$