一辺の長さが $\sqrt{7}$ の正三角形 $ABC$ があり、$ABC$ の外接円の点 $B$ を含まない弧 $CA$ 上に $CD = 1$ となる点 $D$ をとる。線分 $AC$ と $BD$ の交点を $E$ とする。 (1) $\angle ADC$ の角度、$AD$ の長さ、$\triangle ACD$ の面積を求める。 (2) $\triangle ACD$ の内接円の半径を求める。 (3) $AE:EC$ の比、$\triangle CDE$ の面積を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが $\sqrt{7}$ の正三角形 $ABC$ があり、$ABC$ の外接円の点 $B$ を含まない弧 $CA$ 上に $CD = 1$ となる点 $D$ をとる。線分 $AC$ と $BD$ の交点を $E$ とする。

(1) $\angle ADC$ の角度、$AD$ の長さ、$\triangle ACD$ の面積を求める。

(2) $\triangle ACD$ の内接円の半径を求める。

(3) $AE:EC$ の比、$\triangle CDE$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* $\angle ADC$ について:

$ABCD$ は円に内接する四角形なので、$\angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ}$。$\triangle ABC$ は正三角形なので、$\angle ABC = 60^{\circ}$。よって、$\angle ADC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$。

* $AD$ の長さについて:

$\triangle ADC$ において、余弦定理より $AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos \angle ADC$。$AC = \sqrt{7}$, $CD = 1$, $\angle ADC = 120^{\circ}$ を代入すると、

$(\sqrt{7})^2 = AD^2 + 1^2 - 2 \cdot AD \cdot 1 \cdot \cos 120^{\circ}$

$7 = AD^2 + 1 - 2AD \cdot (-\frac{1}{2})$

$AD^2 + AD - 6 = 0$

$(AD+3)(AD-2) = 0$

$AD > 0$ より、$AD = 2$。

* $\triangle ACD$ の面積について:

$\triangle ACD = \frac{1}{2} AD \cdot CD \cdot \sin \angle ADC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sin 120^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

(2)

* $\triangle ACD$ の内接円の半径 $r$ について:

$\triangle ACD$ の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2} r (AD + CD + AC)$ で表される。

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} r (2 + 1 + \sqrt{7})$

$r = \frac{\sqrt{3}}{3 + \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}(3 - \sqrt{7})}{(3 + \sqrt{7})(3 - \sqrt{7})} = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{21}}{9 - 7} = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{21}}{2}$。

(3)

* $AE:EC$ の比について:

$\triangle ABE \sim \triangle DCE$ より、$AE:EC = AD:CD = 2:1$。

* $\triangle CDE$ の面積について:

$\triangle ACD$ の面積は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ であり、$AE:EC = 2:1$ なので、$AC:EC = 3:1$。

したがって、$\triangle CDE$ の面積は $\frac{1}{3}$ 倍の $\triangle ACD$ となるから、$\triangle CDE = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6}$。

3. 最終的な答え

(1)

* $\angle ADC = 120^{\circ}$

* $AD = 2$

* $\triangle ACD$ の面積は $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2)

* $\triangle ACD$ の内接円の半径は $\frac{3\sqrt{3} - \sqrt{21}}{2}$

(3)

* $AE:EC = 2:1$

* $\triangle CDE$ の面積は $\frac{\sqrt{3}}{6}$