数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 2$, $a_2 = 6$, $a_{n+2} - 2 a_{n+1} - a_n = 0$ を満たすとき、この数列の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 2$, $a_2 = 6$, $a_{n+2} - 2 a_{n+1} - a_n = 0$ を満たすとき、この数列の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式を変形します。

$a_{n+2} - 2 a_{n+1} - a_n = 0$

この漸化式の特性方程式は

$x^2 - 2x - 1 = 0$

です。

この特性方程式の解は、解の公式より

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

したがって、特性方程式の解は $x = 1 + \sqrt{2}$ と $x = 1 - \sqrt{2}$ です。

これら2つの解を $\alpha = 1 + \sqrt{2}$、$\beta = 1 - \sqrt{2}$ とおくと、数列 $\{a_n\}$ の一般項は

$a_n = A (1 + \sqrt{2})^n + B (1 - \sqrt{2})^n$

の形で表されます。

ここで、$A$ と $B$ は定数です。

$a_1 = 2$ および $a_2 = 6$ の値を代入して、$A$ と $B$ を求めます。

$a_1 = A (1 + \sqrt{2}) + B (1 - \sqrt{2}) = 2$

$a_2 = A (1 + \sqrt{2})^2 + B (1 - \sqrt{2})^2 = 6$

$(1 + \sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2}$

$(1 - \sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2}$

よって、

$A (1 + \sqrt{2}) + B (1 - \sqrt{2}) = 2$

$A (3 + 2\sqrt{2}) + B (3 - 2\sqrt{2}) = 6$

1つ目の式を $3$ 倍すると、$3A (1 + \sqrt{2}) + 3B (1 - \sqrt{2}) = 6$ となります。

2つ目の式からこの式を引くと、

$A (3 + 2\sqrt{2} - 3 - 3\sqrt{2}) + B (3 - 2\sqrt{2} - 3 + 3\sqrt{2}) = 0$

$A (-\sqrt{2}) + B (\sqrt{2}) = 0$

$-A + B = 0$

$A = B$

$A = B$ を $A (1 + \sqrt{2}) + B (1 - \sqrt{2}) = 2$ に代入すると、

$A (1 + \sqrt{2}) + A (1 - \sqrt{2}) = 2$

$A (1 + \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2}) = 2$

$2A = 2$

$A = 1$

したがって、$A = B = 1$ です。

よって、一般項は

$a_n = (1 + \sqrt{2})^n + (1 - \sqrt{2})^n$

となります。

3. 最終的な答え

$a_n = (1 + \sqrt{2})^n + (1 - \sqrt{2})^n$