(1) $(5x - 4y)^2 - (3x + y)^2$ を因数分解し、指定された形式で表す。ただし、最初の因数の $x$ の係数が2番目の因数の $x$ の係数より大きいとする。 (2) $x^2(y-1) + y^2(x-1) - 2xy + x + y$ を因数分解し、選択肢から正しいものを選ぶ。

1. 問題の内容

(1) $(5x - 4y)^2 - (3x + y)^2$ を因数分解し、指定された形式で表す。ただし、最初の因数の $x$ の係数が2番目の因数の $x$ の係数より大きいとする。

(2) $x^2(y-1) + y^2(x-1) - 2xy + x + y$ を因数分解し、選択肢から正しいものを選ぶ。

2. 解き方の手順

(1)

2乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用する。

$a = 5x - 4y$, $b = 3x + y$ とすると、

$(5x - 4y)^2 - (3x + y)^2 = (5x - 4y + 3x + y)(5x - 4y - (3x + y))$

$= (8x - 3y)(2x - 5y)$

$x$ の係数に関する条件より、 $8 > 2$ なので、この順番でよい。したがって、空欄は $8x-3y$ と $2x-5y$ となる。

(2)

与えられた式を展開し、整理する。

$x^2(y-1) + y^2(x-1) - 2xy + x + y = x^2y - x^2 + xy^2 - y^2 - 2xy + x + y$

$= x^2y + xy^2 - x^2 - y^2 - 2xy + x + y$

$= xy(x+y) - (x^2 + 2xy + y^2) + (x+y)$

$= xy(x+y) - (x+y)^2 + (x+y)$

$= (x+y)[xy - (x+y) + 1]$

$= (x+y)(xy - x - y + 1)$

$= (x+y)[x(y-1) - (y-1)]$

$= (x+y)(x-1)(y-1)$

$= (x-1)(y-1)(x+y)$

選択肢から正しいものを選ぶと、5番が該当する。

3. 最終的な答え

(1) $(8x - 3y)(2x - 5y)$

(2) 5