$x+y+z=0$, $xy+yz+zx=-5$, $xyz=2$ のとき、$x^2+y^2+z^2$ および $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x+y+z=0$, $xy+yz+zx=-5$, $xyz=2$ のとき、$x^2+y^2+z^2$ および $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x+y+z=0$ の両辺を2乗すると、

$(x+y+z)^2 = 0^2$

$x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) = 0$

$x^2+y^2+z^2+2(-5) = 0$

$x^2+y^2+z^2 = 10$

次に、$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$ を求める。

$(xy+yz+zx)^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2(xy^2z+xyz^2+x^2yz)$

$(xy+yz+zx)^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z)$

$(-5)^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2(2)(0)$

$25 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$

$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 = 25$

3. 最終的な答え

$x^2+y^2+z^2 = 10$

$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 = 25$