整式 $P(x)$ があり、$(x+1)^2$ で割ると余りが $-x+4$、$ (x-1)^2$ で割ると余りが $2x+5$ である。 (1) $P(x)$ を $(x+1)(x-1)$ で割ったときの余りを求める。 (2) $P(x)$ を $(x+1)(x-1)^2$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ があり、$(x+1)^2$ で割ると余りが $-x+4$、$(x-1)^2$ で割ると余りが $2x+5$ である。

(1) $P(x)$ を $(x+1)(x-1)$ で割ったときの余りを求める。

(2) $P(x)$ を $(x+1)(x-1)^2$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ を $(x+1)(x-1)$ で割ったときの余りを $ax+b$ とおく。

すると、ある整数 $Q(x)$ が存在して

$P(x) = (x+1)(x-1)Q(x) + ax+b$

と表せる。

$P(x)$ を $(x+1)^2$ で割ったときの余りが $-x+4$ であることから、ある整数 $Q_1(x)$ が存在して

$P(x) = (x+1)^2 Q_1(x) -x+4$

同様に、$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ったときの余りが $2x+5$ であることから、ある整数 $Q_2(x)$ が存在して

$P(x) = (x-1)^2 Q_2(x) + 2x+5$

$x=-1$ を代入すると

$P(-1) = -a + b = -(-1) + 4 = 5$

$x=1$ を代入すると

$P(1) = a + b = 2(1) + 5 = 7$

この連立方程式を解くと、

$2b = 12$ より $b=6$

$a = 7-b = 7-6 = 1$

したがって、余りは $x+6$

(2) $P(x)$ を $(x+1)(x-1)^2$ で割ったときの余りを $R(x)$ とおくと、ある整数 $Q(x)$ が存在して

$P(x) = (x+1)(x-1)^2 Q(x) + R(x)$

ここで、$R(x)$ は 2次以下の式である。

$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ったときの余りが $2x+5$ であることから、$R(x)$ を $(x-1)^2$ で割った余りも $2x+5$ である。

したがって、ある定数 $c$ を用いて

$R(x) = c(x-1)^2 + 2x+5$

と表せる。

$P(x)$ を $(x+1)$ で割ると、

$P(-1) = c(-1-1)^2 + 2(-1) + 5 = 4c -2 + 5 = 4c + 3$

一方、$P(x)$ を $(x+1)^2$ で割った余りは $-x+4$ であることから、

$P(-1) = -(-1)+4 = 5$

よって、$4c + 3 = 5$ より $4c = 2$ なので $c = \frac{1}{2}$

したがって、

$R(x) = \frac{1}{2} (x-1)^2 + 2x+5 = \frac{1}{2} (x^2 - 2x + 1) + 2x + 5 = \frac{1}{2}x^2 -x + \frac{1}{2} + 2x + 5 = \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{11}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x+6$

(2) $\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{11}{2}$