2次方程式 $x^2 - 12x + k = 0$ において、1つの解が他の解の2乗であるとき、定数 $k$ の値と方程式の解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 12x + k = 0$ において、1つの解が他の解の2乗であるとき、定数 $k$ の値と方程式の解を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式の解を $\alpha$、$\alpha^2$ とおく。

解と係数の関係より、以下の2式が成り立つ。

$\alpha + \alpha^2 = 12$

$\alpha \cdot \alpha^2 = k$

1つ目の式から $\alpha$ の値を求める。

$\alpha + \alpha^2 = 12$ を変形して、

$\alpha^2 + \alpha - 12 = 0$

$(\alpha + 4)(\alpha - 3) = 0$

よって、$\alpha = -4, 3$

$\alpha = -4$ のとき、

$k = \alpha^3 = (-4)^3 = -64$

このとき、2次方程式は $x^2 - 12x - 64 = 0$

$(x - 16)(x + 4) = 0$

解は $x = 16, -4$ であり、たしかに $16 = (-4)^2$ を満たす。

$\alpha = 3$ のとき、

$k = \alpha^3 = (3)^3 = 27$

このとき、2次方程式は $x^2 - 12x + 27 = 0$

$(x - 3)(x - 9) = 0$

解は $x = 3, 9$ であり、たしかに $9 = 3^2$ を満たす。

3. 最終的な答え

$k = -64$ のとき、解は $x = 16, -4$

$k = 27$ のとき、解は $x = 3, 9$