(1) 次の式の値を求めます。 $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{\sqrt{10}+\sqrt{6}} + \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}$ $(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{\sqrt{10}+\sqrt{6}})^2 + (\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}})^2$ (2) 次の式の分母を有理化します。 $\frac{20}{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}$

1. 問題の内容

(1) 次の式の値を求めます。

$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{\sqrt{10}+\sqrt{6}} + \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}$

$(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{\sqrt{10}+\sqrt{6}})^2 + (\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}})^2$

(2) 次の式の分母を有理化します。

$\frac{20}{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}}$

2. 解き方の手順

(1) まず、最初の式を計算します。

$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{\sqrt{10}+\sqrt{6}} + \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{10}-\sqrt{6})^2 + (\sqrt{10}+\sqrt{6})^2}{(\sqrt{10}+\sqrt{6})(\sqrt{10}-\sqrt{6})}$

$= \frac{(10 - 2\sqrt{60} + 6) + (10 + 2\sqrt{60} + 6)}{10 - 6} = \frac{16+16}{4} = \frac{32}{4} = 8$

次に、2番目の式を計算します。

まず、$a = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{\sqrt{10}+\sqrt{6}}$ と置くと、$b = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}} = \frac{1}{a}$ となります。

求めたい式は、$a^2 + b^2 = a^2 + (\frac{1}{a})^2$ です。

ここで、$a+b = 8$ であることがわかっています。

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ なので、$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ です。

$ab = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{\sqrt{10}+\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}} = 1$ なので、$a^2 + b^2 = 8^2 - 2 \cdot 1 = 64 - 2 = 62$

(2) 分母を有理化します。

$\frac{20}{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}} = \frac{20}{(\sqrt{2}-(\sqrt{5}-\sqrt{7}))}$

分母と分子に $(\sqrt{2}+(\sqrt{5}-\sqrt{7}))$ をかけます。

$\frac{20(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7})}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5}-\sqrt{7})^2} = \frac{20(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7})}{2 - (5 - 2\sqrt{35} + 7)} = \frac{20(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7})}{2 - 12 + 2\sqrt{35}} = \frac{20(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7})}{-10 + 2\sqrt{35}} = \frac{10(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7})}{-5 + \sqrt{35}}$

さらに分母と分子に $(5+\sqrt{35})$ をかけます。

$\frac{10(\sqrt{2}+\sqrt{5}-\sqrt{7})(5+\sqrt{35})}{( \sqrt{35}-5)(\sqrt{35}+5)} = \frac{10(5\sqrt{2} + \sqrt{70} + 5\sqrt{5} + \sqrt{175} - 5\sqrt{7} - \sqrt{245})}{35-25} = \frac{10(5\sqrt{2} + \sqrt{70} + 5\sqrt{5} + 5\sqrt{7} - 5\sqrt{7} - 7\sqrt{5})}{10} = 5\sqrt{2} + \sqrt{70} + 5\sqrt{5} + 5\sqrt{7} - 5\sqrt{7} - 7\sqrt{5} = 5\sqrt{2} - 2\sqrt{5} + \sqrt{70}$

$\sqrt{70} = \sqrt{2}\sqrt{5}\sqrt{7}$

したがって、$\frac{20}{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}} = 5\sqrt{2} - 2\sqrt{5} + \sqrt{70}$

3. 最終的な答え

(1)

$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{\sqrt{10}+\sqrt{6}} + \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}} = 8$

$(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{\sqrt{10}+\sqrt{6}})^2 + (\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}})^2 = 62$

(2)

$\frac{20}{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}} = 5\sqrt{2} -2\sqrt{5} + \sqrt{70}$

したがって、4=5, 5=-2, 6=5, 7=7, 8=0です。

$\frac{20}{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}} = 5\sqrt{2} - 2\sqrt{5} + \sqrt{70} = 5\sqrt{2}-2\sqrt{5} + \sqrt{7*10}$

すみません。答えは違います。

$\frac{20}{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}} = 5\sqrt{2} -2\sqrt{5} + \sqrt{70}$

$\frac{20}{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}} = \frac{20(\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7})}{(\sqrt{2}-\sqrt{5})^2-7} = \frac{20(\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7})}{2-2\sqrt{10}+5-7} = \frac{20(\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7})}{-2\sqrt{10}} = -\frac{10(\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7})}{\sqrt{10}} = -\frac{10\sqrt{10}(\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7})}{10} = \sqrt{5}*\sqrt{2} *(\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{7}) = \sqrt{20} - 10\sqrt{50} +\sqrt{70}= 2\sqrt{5}+\sqrt{2}$

最終結果: $\frac{20}{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}} = 4\sqrt{2} + 5\sqrt{6}- \sqrt{70}$

4=4, 5=5, 6=6, 7=7, 8=0

$\frac{20}{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}} = 4\sqrt{2} + \sqrt{10}$

最初の問題の答えは8と62です。

有理化問題の回答。

$\frac{20}{\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{7}} = 4\sqrt{2} + 5\sqrt{6}-\sqrt{70}$ です. よって 4=4, 5=0, 6=6, 7=7, 8=0