(1) $\frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$, $b$、および $b^2 + 4b + 5$ の値を求める。 (2) $x = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$, $y = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ とするとき、$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}$ と $x^3 + y^3$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$, $b$、および $b^2 + 4b + 5$ の値を求める。

(2) $x = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$, $y = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ とするとき、$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}$ と $x^3 + y^3$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ を有理化する。

$\frac{1}{3-2\sqrt{2}} = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} \times \frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{9-8} = 3+2\sqrt{2}$

ここで、$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、$2\sqrt{2} \approx 2.828$。

よって、$3+2\sqrt{2} \approx 5.828$。したがって、整数部分 $a=5$。

小数部分 $b = (3+2\sqrt{2}) - 5 = 2\sqrt{2} - 2$。

$b^2 + 4b + 5 = (2\sqrt{2}-2)^2 + 4(2\sqrt{2}-2) + 5 = (8 - 8\sqrt{2} + 4) + (8\sqrt{2} - 8) + 5 = 12 - 8\sqrt{2} + 8\sqrt{2} - 8 + 5 = 9$.

(2)

まず、$x^2$ と $y^2$ を計算する。

$x^2 = (\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{4} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}$

$y^2 = (\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{6 + 2\sqrt{12} + 2}{4} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{4} = 2 + \sqrt{3}$

$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} - \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{(2+\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3}}{4-3} = 2\sqrt{3}$

次に、$x+y$ と $xy$ を計算する。

$x+y = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}$

$xy = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} = \frac{6-2}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = \sqrt{6} ((\sqrt{6})^2 - 3(1)) = \sqrt{6} (6-3) = 3\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1)

$a = 5$

$b = 2\sqrt{2}-2$

$b^2+4b+5 = 9$

(2)

$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} = 2\sqrt{3}$

$x^3 + y^3 = 3\sqrt{6}$