次の2つの問題を解きます。 (1) 関数 $f(x) = x^2$ の $x = 2$ における微分係数を定義に従って求めます。 (2) 関数 $f(x) = x^2$ の $x = -1$ における微分係数を定義に従って求めます。

1. 問題の内容

次の2つの問題を解きます。

(1) 関数 $f(x) = x^2$ の $x = 2$ における微分係数を定義に従って求めます。

(2) 関数 $f(x) = x^2$ の $x = -1$ における微分係数を定義に従って求めます。

2. 解き方の手順

微分係数の定義は、

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

で与えられます。

(1) $f(x) = x^2$、$a = 2$ のとき：

まず、$f(a+h) = f(2+h) = (2+h)^2 = 4 + 4h + h^2$、

$f(a) = f(2) = 2^2 = 4$ を計算します。

したがって、

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(4 + 4h + h^2) - 4}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (4 + h) = 4$

となります。

(2) $f(x) = x^2$、$a = -1$ のとき：

まず、$f(a+h) = f(-1+h) = (-1+h)^2 = 1 - 2h + h^2$、

$f(a) = f(-1) = (-1)^2 = 1$ を計算します。

したがって、

$f'(-1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1 - 2h + h^2) - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (-2 + h) = -2$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $4$

(2) $-2$