(1) 3次方程式 $x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0$ を解く。 (2) 4次方程式 $x^4 - 3x^3 - x^2 - 3x + 18 = 0$ を解く。

はい、承知いたしました。因数定理を用いて方程式を解く問題ですね。

1. 問題の内容

(1) 3次方程式 $x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0$ を解く。

(2) 4次方程式 $x^4 - 3x^3 - x^2 - 3x + 18 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 2x^2 + x + 4 = 0$ の場合：

因数定理を利用して、方程式の解を見つけます。つまり、$P(x) = x^3 - 2x^2 + x + 4$ とおき、$P(a) = 0$ となる $a$ を探します。

$x = -1$ を代入すると、

$P(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) + 4 = -1 - 2 - 1 + 4 = 0$

となるので、$x = -1$ は方程式の解の一つです。

したがって、$P(x)$ は $(x + 1)$ を因数に持ちます。組み立て除法または筆算で$P(x)$を$(x + 1)$で割ると、

$x^3 - 2x^2 + x + 4 = (x + 1)(x^2 - 3x + 4)$

となります。

次に、$x^2 - 3x + 4 = 0$ を解きます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2}$

となります。

(2) $x^4 - 3x^3 - x^2 - 3x + 18 = 0$ の場合：

因数定理を利用して、方程式の解を見つけます。$Q(x) = x^4 - 3x^3 - x^2 - 3x + 18$ とおき、$Q(a) = 0$ となる $a$ を探します。

$x = -2$を代入すると、

$Q(-2) = (-2)^4 - 3(-2)^3 - (-2)^2 - 3(-2) + 18 = 16 + 24 - 4 + 6 + 18 = 60 \neq 0$

$x = -2$ は解ではない。

$x = -1$を代入すると、

$Q(-1) = (-1)^4 - 3(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 18 = 1+3-1+3+18 = 24\neq 0$

$x = 2$を代入すると、

$Q(2) = 2^4 - 3(2)^3 - 2^2 - 3(2) + 18 = 16 - 24 - 4 - 6 + 18 = 0$

したがって、$x = 2$は解の一つです。

$x = 3$を代入すると、

$Q(3) = 3^4 - 3(3)^3 - 3^2 - 3(3) + 18 = 81 - 81 - 9 - 9 + 18 = 0$

したがって、$x = 3$は解の一つです。

$Q(x) = (x-2)(x-3)(x^2 + 2x + 3)$

$x^2 + 2x + 3 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4-12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{2}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = -1, \frac{3 + i\sqrt{7}}{2}, \frac{3 - i\sqrt{7}}{2}$

(2) $x = 2, 3, -1 + i\sqrt{2}, -1 - i\sqrt{2}$