与えられた不等式を解く問題です。具体的には以下の３つの不等式を解きます。 (3) $3x^2 < 5x + 2$ (4) $4x \geq 5 - x^2$ (5) $6x^2 - 5x + 1 \leq 0$ (6) $x^2 - 2x - 1 > 0$

1. 問題の内容

与えられた不等式を解く問題です。具体的には以下の３つの不等式を解きます。

(3) $3x^2 < 5x + 2$

(4) $4x \geq 5 - x^2$

(5) $6x^2 - 5x + 1 \leq 0$

(6) $x^2 - 2x - 1 > 0$

2. 解き方の手順

(3) $3x^2 < 5x + 2$

まず、不等式を整理します。

$3x^2 - 5x - 2 < 0$

次に、左辺を因数分解します。

$(3x + 1)(x - 2) < 0$

不等式の解は、$3x + 1 = 0$ と $x - 2 = 0$ となる $x$ の値によって区切られた範囲で符号が変わります。

$3x + 1 = 0$ より $x = -\frac{1}{3}$

$x - 2 = 0$ より $x = 2$

したがって、解は$-\frac{1}{3} < x < 2$ となります。

(4) $4x \geq 5 - x^2$

まず、不等式を整理します。

$x^2 + 4x - 5 \geq 0$

次に、左辺を因数分解します。

$(x + 5)(x - 1) \geq 0$

不等式の解は、$x + 5 = 0$ と $x - 1 = 0$ となる $x$ の値によって区切られた範囲で符号が変わります。

$x + 5 = 0$ より $x = -5$

$x - 1 = 0$ より $x = 1$

したがって、解は$x \leq -5$ または $x \geq 1$ となります。

(5) $6x^2 - 5x + 1 \leq 0$

まず、左辺を因数分解します。

$(2x - 1)(3x - 1) \leq 0$

不等式の解は、$2x - 1 = 0$ と $3x - 1 = 0$ となる $x$ の値によって区切られた範囲で符号が変わります。

$2x - 1 = 0$ より $x = \frac{1}{2}$

$3x - 1 = 0$ より $x = \frac{1}{3}$

したがって、解は$\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{2}$ となります。

(6) $x^2 - 2x - 1 > 0$

左辺は因数分解できないため、解の公式を用います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1, b = -2, c = -1$ なので、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

したがって、$x < 1 - \sqrt{2}$ または $x > 1 + \sqrt{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(3) $-\frac{1}{3} < x < 2$

(4) $x \leq -5$ または $x \geq 1$

(5) $\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{2}$

(6) $x < 1 - \sqrt{2}$ または $x > 1 + \sqrt{2}$