5つの領域に色を塗る。各領域は好きな色で塗って良いが、隣り合う領域は同じ色で塗ってはいけない。色の塗り方の総数が40通りに最も近くなるような塗り分け方を考え、その塗り分け方の総数を求める。

1. 問題の内容

5つの領域に色を塗る。各領域は好きな色で塗って良いが、隣り合う領域は同じ色で塗ってはいけない。色の塗り方の総数が40通りに最も近くなるような塗り分け方を考え、その塗り分け方の総数を求める。

2. 解き方の手順

領域の数と使用できる色の数を調整し、総塗り分け回数を計算し、40に最も近いパターンを見つける。

* **使用する色が1色の場合:** 隣り合う領域が同じ色になってしまうので、塗り分け方は0通り。

* **使用する色が2色の場合:** 1番目の領域は2色から選べる。2番目の領域は1色に決まる。3番目の領域は1色に決まる。4番目の領域は1色に決まる。5番目の領域は1色に決まる。塗り分け方は$2 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 2$通り。

* **使用する色が3色の場合:**

* 1番目の領域は3色から選べる。

* 2番目の領域は、1番目の領域で使用した色以外の2色から選べる。

* 3番目の領域は、2番目の領域で使用した色以外の2色から選べる。

* 4番目の領域は、3番目の領域で使用した色以外の2色から選べる。

* 5番目の領域は、4番目の領域で使用した色以外の2色から選べる。

塗り分け方は$3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 48$通り。

* **使用する色が4色の場合:**

* 1番目の領域は4色から選べる。

* 2番目の領域は、1番目の領域で使用した色以外の3色から選べる。

* 3番目の領域は、2番目の領域で使用した色以外の3色から選べる。

* 4番目の領域は、3番目の領域で使用した色以外の3色から選べる。

* 5番目の領域は、4番目の領域で使用した色以外の3色から選べる。

塗り分け方は$4 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 324$通り。

3色のときが40に最も近い。

3. 最終的な答え

使用する色: 3色

塗り方の総数: 48通り