全体集合 $U$ の要素数を $n(U) = 100$、集合 $A$ の要素数を $n(A) = 55$、集合 $B$ の要素数を $n(B) = 45$、集合 $A \cap B$ の要素数を $n(A \cap B) = 25$ とするとき、以下の値を求めよ。 (1) $n(\overline{B})$ (2) $n(A \cup B)$ (3) $n(A \cap \overline{B})$ (4) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の要素数を $n(U) = 100$、集合 $A$ の要素数を $n(A) = 55$、集合 $B$ の要素数を $n(B) = 45$、集合 $A \cap B$ の要素数を $n(A \cap B) = 25$ とするとき、以下の値を求めよ。

(1) $n(\overline{B})$

(2) $n(A \cup B)$

(3) $n(A \cap \overline{B})$

(4) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{B})$ の計算

$\overline{B}$ は $B$ の補集合であるから、全体集合から $B$ の要素を取り除いたものである。

$n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$

$n(\overline{B}) = 100 - 45 = 55$

(2) $n(A \cup B)$ の計算

$A \cup B$ の要素数は、$A$ の要素数と $B$ の要素数を足し、$A \cap B$ の要素数を引いたものである。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B) = 55 + 45 - 25 = 75$

(3) $n(A \cap \overline{B})$ の計算

$A \cap \overline{B}$ は、$A$ に含まれていて、$B$ に含まれない要素の集合である。

$A \cap \overline{B} = A - (A \cap B)$

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B)$

$n(A \cap \overline{B}) = 55 - 25 = 30$

(4) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$ の計算

$\overline{A} \cap \overline{B}$ は、$A$ にも $B$ にも含まれない要素の集合である。これは、$A \cup B$ の補集合 $\overline{A \cup B}$ に等しい。

$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$

$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 100 - 75 = 25$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{B}) = 55$

(2) $n(A \cup B) = 75$

(3) $n(A \cap \overline{B}) = 30$

(4) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 25$