全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$、 $B = \{3, 6\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める。 (1) $B^c$ (2) $A \cap B^c$ (3) $A^c \cap B$ (4) $A^c \cup B$ (5) $A^c \cap B^c$ (6) $A \cap B^c$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$、 $B = \{3, 6\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める。

(1) $B^c$

(2) $A \cap B^c$

(3) $A^c \cap B$

(4) $A^c \cup B$

(5) $A^c \cap B^c$

(6) $A \cap B^c$

2. 解き方の手順

(1) $B^c$ (Bの補集合) は、全体集合Uの中でBに含まれない要素の集合です。$B^c = U - B$ で計算します。

(2) $A \cap B^c$ (AとBの補集合の共通部分) は、Aと$B^c$の両方に含まれる要素の集合です。$B^c$を求めた後、Aとの共通部分を計算します。

(3) $A^c \cap B$ (Aの補集合とBの共通部分) は、$A^c$とBの両方に含まれる要素の集合です。$A^c = U - A$ を計算し、Bとの共通部分を計算します。

(4) $A^c \cup B$ (Aの補集合とBの和集合) は、$A^c$またはBに含まれる要素の集合です。$A^c$を求めた後、$A^c$とBの要素をすべて集めて重複を削除します。

(5) $A^c \cap B^c$ (Aの補集合とBの補集合の共通部分) は、$A^c$と$B^c$の両方に含まれる要素の集合です。$A^c$と$B^c$を求めた後、その共通部分を計算します。

(6) $A \cap B^c$ (AとBの補集合の共通部分) は、Aと$B^c$の両方に含まれる要素の集合です。$B^c$を求めた後、Aとの共通部分を計算します。

まず、$A^c$と$B^c$を求めます。

$A^c = U - A = \{4, 5, 6\}$

$B^c = U - B = \{1, 2, 4, 5\}$

次に、各設問を解きます。

(1) $B^c = \{1, 2, 4, 5\}$

(2) $A \cap B^c = \{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 4, 5\} = \{1, 2\}$

(3) $A^c \cap B = \{4, 5, 6\} \cap \{3, 6\} = \{6\}$

(4) $A^c \cup B = \{4, 5, 6\} \cup \{3, 6\} = \{3, 4, 5, 6\}$

(5) $A^c \cap B^c = \{4, 5, 6\} \cap \{1, 2, 4, 5\} = \{4, 5\}$

(6) $A \cap B^c = \{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 4, 5\} = \{1, 2\}$

3. 最終的な答え

(1) $B^c = \{1, 2, 4, 5\}$

(2) $A \cap B^c = \{1, 2\}$

(3) $A^c \cap B = \{6\}$

(4) $A^c \cup B = \{3, 4, 5, 6\}$

(5) $A^c \cap B^c = \{4, 5\}$

(6) $A \cap B^c = \{1, 2\}$