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$nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr$ が成り立つことを、組合せの考えを用いて説明する。

離散数学組み合わせ二項係数パスカルの法則
2025/6/17

1. 問題の内容

nCr=n−1Cr−1+n−1CrnCr = n-1Cr-1 + n-1Cr が成り立つことを、組合せの考えを用いて説明する。

2. 解き方の手順

nn個のものからrr個を選ぶ組合せの総数 nCrnCr を考える。
nn個のものの中に特定の1つのものAがあるとする。
rr個選ぶ組合せを以下の2つの場合に分けて考える。
(i) 選んだrr個の中にAが含まれる場合
この場合、Aは必ず選ばれるので、残りのr−1r-1個をn−1n-1個のものから選ぶことになる。
その選び方は n−1Cr−1n-1Cr-1 通り。
(ii) 選んだrr個の中にAが含まれない場合
この場合、rr個全てをA以外のn−1n-1個のものから選ぶことになる。
その選び方は n−1Crn-1Cr 通り。
これら(i)と(ii)は互いに排反であり、全ての場合を網羅しているので、
nCrnCr は (i)の場合の数と(ii)の場合の数の和に等しい。
したがって、
nCr=n−1Cr−1+n−1CrnCr = n-1Cr-1 + n-1Cr

3. 最終的な答え

nCr=n−1Cr−1+n−1CrnCr = n-1Cr-1 + n-1Cr

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