全体集合 $U$ を10以下の自然数の集合とする。集合 $A$ を2の倍数の集合、集合 $B$ を3の倍数の集合とする。このとき、以下の集合を求める。 (1) $A \cap B$ (2) $\overline{A \cap B}$ (3) $\overline{A} \cup \overline{B}$

## 問題102を解きます。

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を10以下の自然数の集合とする。集合 $A$ を2の倍数の集合、集合 $B$ を3の倍数の集合とする。このとき、以下の集合を求める。

(1) $A \cap B$

(2) $\overline{A \cap B}$

(3) $\overline{A} \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

まず、全体集合 $U$, 集合 $A$, 集合 $B$ を要素を書き並べる方法で表す。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

$B = \{3, 6, 9\}$

(1) $A \cap B$ は、集合 $A$ と集合 $B$ の共通部分である。

$A \cap B = \{6\}$

(2) $\overline{A \cap B}$ は、$A \cap B$ の補集合であり、$U$ の要素のうち $A \cap B$ に含まれない要素の集合である。

$\overline{A \cap B} = U - (A \cap B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10\}$

(3) $\overline{A} \cup \overline{B}$ を求める。

まず、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ を求める。

$\overline{A} = U - A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$

$\overline{A} \cup \overline{B}$ は、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の和集合である。

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{6\}$

(2) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10\}$

(3) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10\}$