ユカさんとミカさんがそれぞれA地点、B地点から向かい合って同時に出発し、15分後にC地点で初めて出会いました。その後、お互いの出発地点に着いたら引き返して進み、D地点で再び出会いました。C地点とD地点の間は600mで、ユカさんとミカさんの速さの比は4:3です。AD:DC:CB の長さの比を最も簡単な整数の比で求める問題です。

1. 問題の内容

ユカさんとミカさんがそれぞれA地点、B地点から向かい合って同時に出発し、15分後にC地点で初めて出会いました。その後、お互いの出発地点に着いたら引き返して進み、D地点で再び出会いました。C地点とD地点の間は600mで、ユカさんとミカさんの速さの比は4:3です。AD:DC:CB の長さの比を最も簡単な整数の比で求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、ユカさんとミカさんの速さの比が4:3であることから、ACとBCの比も4:3であることがわかります。

次に、2人が出発してからD地点で再び出会うまでのユカさんの移動距離はAD + AB + DB です。ミカさんの移動距離はBD + BA + AD です。2人が再び出会うまでに移動した距離の合計は2ABです。初めて出会うまでに移動した距離の合計はABなので、再び出会うまでに移動した距離の合計は、初めて出会うまでの2倍になります。したがって、再び出会うまでの時間は、初めて出会うまでの時間の2倍になります。

初めて出会うまでにかかった時間は15分なので、再び出会うまでにかかった時間は30分です。

ユカさんが初めて出会ってから再び出会うまでに移動した距離は、DB + BA です。ミカさんが初めて出会ってから再び出会うまでに移動した距離は、CA + AD です。

C地点とD地点の間は600mです。

ユカさんとミカンの速さの比が4:3なので、移動距離の比も4:3になります。

したがって、$\frac{DB + BA}{CA + AD} = \frac{4}{3}$ です。

$3(DB + BA) = 4(CA + AD)$

AB = AC + CB であり、AC:CB = 4:3 なので、AC = $4x$, CB = $3x$ と置けます。したがって、AB = $7x$ です。

$3(DB + 7x) = 4(4x + AD)$

$3DB + 21x = 16x + 4AD$

$3DB + 5x = 4AD$

DC = AC - AD = $4x$ - AD

CD = DB - CB = DB - $3x$

DC = CD = 600m

$4x - AD = DB - 3x$

$7x = AD + DB$

$DB = 7x - AD$

$3(7x - AD) + 5x = 4AD$

$21x - 3AD + 5x = 4AD$

$26x = 7AD$

$AD = \frac{26}{7}x$

$DB = 7x - \frac{26}{7}x = \frac{49 - 26}{7}x = \frac{23}{7}x$

$DC = 4x - \frac{26}{7}x = \frac{28 - 26}{7}x = \frac{2}{7}x = 600$

$x = \frac{600 \times 7}{2} = 2100$

$AD = \frac{26}{7} \times 2100 = 26 \times 300 = 7800$

$DC = 600$

$CB = 3x = 3 \times 2100 = 6300$

$AD:DC:CB = 7800:600:6300 = 78:6:63 = 26:2:21$

3. 最終的な答え

AD:DC:CB = 26:2:21