6人を以下の条件でグループ分けする場合の数を求める問題です。 (9) 6人をA, B, Cの3つのグループに分ける場合の数を求めます。ただし、各グループの人数は1人以上とします。 (10) 6人を3つのグループに分ける場合の数を求めます。ただし、各グループの人数は1人以上とします。

1. 問題の内容

6人を以下の条件でグループ分けする場合の数を求める問題です。

(9) 6人をA, B, Cの3つのグループに分ける場合の数を求めます。ただし、各グループの人数は1人以上とします。

(10) 6人を3つのグループに分ける場合の数を求めます。ただし、各グループの人数は1人以上とします。

2. 解き方の手順

(9) A, B, Cの3つのグループに分ける場合

まず、6人をA, B, Cの区別のある3つのグループに分けることを考えます。

各人はA, B, Cのいずれかのグループに属するため、各人のグループの選び方は3通りあります。

したがって、6人全員のグループの選び方は $3^6 = 729$ 通りです。

しかし、この中には、あるグループが空になる場合が含まれています。

A, B, Cのいずれかのグループが空になる場合を考えます。

* 1つのグループが空になる場合:

3つのグループのうち1つが空になる選び方は3通りあり、残りの2つのグループに6人を分ける方法は $2^6$ 通りですが、この中には1つのグループに全員が入る2通りが含まれているので、$2^6 - 2$通りです。よって、全部で $3(2^6 - 2) = 3(64 - 2) = 3 \times 62 = 186$通りです。

* 2つのグループが空になる場合:

3つのグループのうち2つが空になる選び方は3通りあり、残りの1つのグループに6人全員が入るしかないので、$3 \times 1 = 3$通りです。

したがって、少なくとも1つのグループが空になる場合は、$186 + 3 = 189$通りです。

しかし、グループが2つ空になる場合を2回引いてしまっているので補正します。

求める場合の数は、

$3^6 - \{3 \times (2^6-2) + 3\} = 729 - (186+3) = 729 - 189 = 540$ 通りです。

(10) 3つのグループに分ける場合

(9)の結果をさらにグループの区別をなくす必要があります。

考えられる人数配分は以下の通りです。

* (1, 1, 4)の場合：${}_6C_1 \times {}_5C_1 \times {}_4C_4 \div 2! = 6 \times 5 \times 1 \div 2 = 15$通り

* (1, 2, 3)の場合：${}_6C_1 \times {}_5C_2 \times {}_3C_3 = 6 \times 10 \times 1 = 60$通り

* (2, 2, 2)の場合：${}_6C_2 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2 \div 3! = 15 \times 6 \times 1 \div 6 = 15$通り

よって、合計 $15 + 60 + 15 = 90$ 通りとなります。

3. 最終的な答え

(9) 540通り

(10) 90通り