分数 $\frac{121}{243}$ を9進法で表す問題を解きます。

1. 問題の内容

分数 $\frac{121}{243}$ を9進法で表す問題を解きます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた分数を小数で表します。

$\frac{121}{243} \approx 0.49794238683$

次に、この小数を9進法で表現します。9進法では、0から8までの数字を使います。

手順1：小数部分に9を掛けます。

$0.49794238683 \times 9 \approx 4.48148148147$

整数部分を取り出すと、4です。これが9進法の小数点以下第1位の数字です。

手順2：小数部分に9を掛けます。

$0.48148148147 \times 9 \approx 4.33333333323$

整数部分を取り出すと、4です。これが9進法の小数点以下第2位の数字です。

手順3：小数部分に9を掛けます。

$0.33333333323 \times 9 \approx 2.99999999907$

整数部分を取り出すと、2です。これが9進法の小数点以下第3位の数字です。

手順4：小数部分に9を掛けます。

$0.99999999907 \times 9 \approx 8.99999999163$

整数部分を取り出すと、8です。これが9進法の小数点以下第4位の数字です。

手順5：小数部分に9を掛けます。

$0.99999999163 \times 9 \approx 8.99999992467$

整数部分を取り出すと、8です。これが9進法の小数点以下第5位の数字です。

これより、$\frac{121}{243}$を9進法で表すと、おおよそ0.44288...となります。割り算を実行すると、$\frac{121}{243} = \frac{4}{9} + \frac{4}{9^2} + \frac{2}{9^3} + \frac{8}{9^4} + \frac{8}{9^5} + ... = 0.4428888..._9$となります。

ここで、小数部分を$x$とおくと、

$x=0.442888..._9$

$9^2x = 44.2888..._9$

$9^2x - 9x = (4 \times 9 + 4).2888..._9 - (4.42888..._9) = 39.86..._9$

直接計算するアプローチを取るよりも、比率に注目します。$243 = 3^5$であり、$121 \approx \frac{243}{2} = 121.5$であるため、$\frac{121}{243} \approx \frac{1}{2} = 0.5$です。

9進法では、$\frac{1}{2} = \frac{4.5}{9} = 0.45_9$です。

$\frac{121}{243}$を9進法で正確に表すには、まず分母と分子を9で割ります。

$121 = 13 \times 9 + 4$

$243 = 27 \times 9 + 0$

したがって、分子は$134_9$、分母は$300_9$です。これを計算し直すことは複雑なので、小数を計算して近似します。

$\frac{121}{243} \approx 0.4979$なので、$9 \times 0.4979 = 4.4811$

$9 \times 0.4811 = 4.3299$

$9 \times 0.3299 = 2.9691$

$9 \times 0.9691 = 8.7219$

$9 \times 0.7219 = 6.4971$

したがって、$0.44286..._9$

3. 最終的な答え

$\frac{121}{243}$ を9進法で表すと、約 $0.44286_9$ となります。

正確な値を計算機で計算すると、$0.44288888..._9 = 0.442\bar{8}_9$となります。