定積分 $\int_{0}^{2} \frac{1}{2x-1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} \frac{1}{2x-1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

与えられた積分は $\int_{0}^{2} \frac{1}{2x-1} dx$ です。

まず、不定積分を求めます。

$u = 2x-1$ と置くと、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$ となります。

従って、

$\int \frac{1}{2x-1} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln |2x-1| + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

次に、定積分の計算をします。しかし、$2x-1 = 0$ となる $x = \frac{1}{2}$ が積分区間 $[0, 2]$ に含まれるため、この積分は広義積分として扱う必要があります。

積分を $\int_{0}^{1/2} \frac{1}{2x-1} dx + \int_{1/2}^{2} \frac{1}{2x-1} dx$ と分割し、それぞれの積分を極限で定義します。

$\int_{0}^{1/2} \frac{1}{2x-1} dx = \lim_{b \to \frac{1}{2}^-} \int_{0}^{b} \frac{1}{2x-1} dx = \lim_{b \to \frac{1}{2}^-} \left[ \frac{1}{2} \ln |2x-1| \right]_{0}^{b} = \lim_{b \to \frac{1}{2}^-} \frac{1}{2} (\ln |2b-1| - \ln |-1|) = \lim_{b \to \frac{1}{2}^-} \frac{1}{2} \ln |2b-1| = -\infty$

同様に、

$\int_{1/2}^{2} \frac{1}{2x-1} dx = \lim_{a \to \frac{1}{2}^+} \int_{a}^{2} \frac{1}{2x-1} dx = \lim_{a \to \frac{1}{2}^+} \left[ \frac{1}{2} \ln |2x-1| \right]_{a}^{2} = \lim_{a \to \frac{1}{2}^+} \frac{1}{2} (\ln |4-1| - \ln |2a-1|) = \lim_{a \to \frac{1}{2}^+} \frac{1}{2} (\ln 3 - \ln |2a-1|) = \infty$

したがって、$\int_{0}^{1/2} \frac{1}{2x-1} dx$ は $-\infty$ に発散し、$\int_{1/2}^{2} \frac{1}{2x-1} dx$ は $\infty$ に発散します。

Cauchy の主値は、

$\lim_{\epsilon \to 0} \left( \int_{0}^{1/2-\epsilon} \frac{1}{2x-1} dx + \int_{1/2+\epsilon}^{2} \frac{1}{2x-1} dx \right) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2} (\ln |2(1/2-\epsilon) - 1| - \ln |-1| + \ln |4-1| - \ln |2(1/2+\epsilon) - 1|) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2} (\ln (2\epsilon) + \ln 3 - \ln (2\epsilon)) = \frac{1}{2} \ln 3$

3. 最終的な答え

与えられた定積分は発散しますが、Cauchy の主値は $\frac{1}{2}\ln 3$ です。