* $x^n$ の微分は $nx^{n-1}$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

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1. 問題の内容**

与えられた関数を微分し、$f'(x)$ を求める問題です。3つの関数が与えられています。

* 1つ目の関数: $f(x) = -\frac{4}{3}x^3 - 7x$

* 2つ目の関数: $f(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 9x + 15$

* 3つ目の関数: $f(x) = x^2(x^2 + 1)$

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2. 解き方の手順**

各関数について、以下の手順で微分を行います。

1. 各項を微分する。

* $x^n$ の微分は $nx^{n-1}$

2. 定数の微分は 0

3. 微分した各項を足し合わせる。

* **1つ目の関数:** $f(x) = -\frac{4}{3}x^3 - 7x$

$f'(x) = -\frac{4}{3} \cdot 3x^2 - 7$

$f'(x) = -4x^2 - 7$

* **2つ目の関数:** $f(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 9x + 15$

$f'(x) = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 + \frac{1}{2} \cdot 2x - 9 + 0$

$f'(x) = 2x^2 + x - 9$

* **3つ目の関数:** $f(x) = x^2(x^2 + 1) = x^4 + x^2$

$f'(x) = 4x^3 + 2x$

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3. 最終的な答え**

* 1つ目の関数: $f'(x) = -4x^2 - 7$

* 2つ目の関数: $f'(x) = 2x^2 + x - 9$

* 3つ目の関数: $f'(x) = 4x^3 + 2x$