関数 $f(x) = x^3 e^{-x^2}$ の増減と凹凸を調べ、変曲点と極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 e^{-x^2}$ の増減と凹凸を調べ、変曲点と極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 一階導関数 $f'(x)$ を計算します。

(2) 二階導関数 $f''(x)$ を計算します。

(3) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求め、増減表を作成します。

(4) $f''(x) = 0$ となる $x$ を求め、凹凸を調べます。

(5) 増減表と凹凸の情報から、極値と変曲点を特定します。

まず、一階導関数 $f'(x)$ を求めます。積の微分法を用いると、

$f'(x) = (x^3)' e^{-x^2} + x^3 (e^{-x^2})'$

$f'(x) = 3x^2 e^{-x^2} + x^3 (-2x) e^{-x^2}$

$f'(x) = 3x^2 e^{-x^2} - 2x^4 e^{-x^2}$

$f'(x) = x^2 e^{-x^2} (3 - 2x^2)$

次に、二階導関数 $f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = (x^2 e^{-x^2} (3 - 2x^2))'$

$f''(x) = (x^2 e^{-x^2})' (3 - 2x^2) + (x^2 e^{-x^2}) (3 - 2x^2)'$

ここで、$(x^2 e^{-x^2})' = (x^2)' e^{-x^2} + x^2 (e^{-x^2})' = 2x e^{-x^2} - 2x^3 e^{-x^2} = 2x e^{-x^2}(1 - x^2)$.

そして $(3 - 2x^2)' = -4x$.

したがって、

$f''(x) = 2x e^{-x^2} (1 - x^2) (3 - 2x^2) + x^2 e^{-x^2} (-4x)$

$f''(x) = e^{-x^2} (2x (1-x^2)(3-2x^2) - 4x^3)$

$f''(x) = 2x e^{-x^2} ( (1-x^2)(3-2x^2) - 2x^2 )$

$f''(x) = 2x e^{-x^2} ( 3 - 2x^2 - 3x^2 + 2x^4 - 2x^2 )$

$f''(x) = 2x e^{-x^2} (2x^4 - 7x^2 + 3)$

$f''(x) = 2x e^{-x^2} (2x^2 - 1)(x^2 - 3)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は、$x^2 e^{-x^2} (3 - 2x^2) = 0$ より、$x = 0$ または $x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$.

$f''(x) = 0$ となる $x$ は、$2x e^{-x^2} (2x^2 - 1)(x^2 - 3) = 0$ より、$x = 0$, $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$, $x = \pm \sqrt{3}$.

極値：$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ のとき。

$x = \sqrt{\frac{3}{2}}$ のとき、極大値 $f(\sqrt{\frac{3}{2}}) = (\sqrt{\frac{3}{2}})^3 e^{-(\sqrt{\frac{3}{2}})^2} = (\frac{3}{2})^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{3}{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{8}e^{-\frac{3}{2}}$.

$x = -\sqrt{\frac{3}{2}}$ のとき、極小値 $f(-\sqrt{\frac{3}{2}}) = (-\sqrt{\frac{3}{2}})^3 e^{-(-\sqrt{\frac{3}{2}})^2} = -(\frac{3}{2})^{\frac{3}{2}} e^{-\frac{3}{2}} = -\frac{3\sqrt{6}}{8}e^{-\frac{3}{2}}$.

変曲点：$x = 0$, $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$, $x = \pm \sqrt{3}$ のとき。

$x = 0$ のとき、$f(0) = 0$.

$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$f(\frac{1}{\sqrt{2}}) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 e^{-(\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} e^{-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} e^{-\frac{1}{2}}$.

$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$f(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = (-\frac{1}{\sqrt{2}})^3 e^{-(-\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4} e^{-\frac{1}{2}}$.

$x = \sqrt{3}$ のとき、$f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^3 e^{-(\sqrt{3})^2} = 3\sqrt{3} e^{-3}$.

$x = -\sqrt{3}$ のとき、$f(-\sqrt{3}) = (-\sqrt{3})^3 e^{-(-\sqrt{3})^2} = -3\sqrt{3} e^{-3}$.

3. 最終的な答え

極大値：$x = \sqrt{\frac{3}{2}}$ で、$\frac{3\sqrt{6}}{8}e^{-\frac{3}{2}}$

極小値：$x = -\sqrt{\frac{3}{2}}$ で、$-\frac{3\sqrt{6}}{8}e^{-\frac{3}{2}}$

変曲点：$(0, 0)$, $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{2}}{4} e^{-\frac{1}{2}})$, $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{\sqrt{2}}{4} e^{-\frac{1}{2}})$, $(\sqrt{3}, 3\sqrt{3} e^{-3})$, $(-\sqrt{3}, -3\sqrt{3} e^{-3})$