(1) $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k^2 + 3k + 2}$ を計算する。 (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k^2 + 3k + 2}$ を計算する。

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$k^2 + 3k + 2$ を因数分解すると $(k+1)(k+2)$ となる。したがって、

$\frac{1}{k^2 + 3k + 2} = \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}$

となる。よって、求める和は

$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k^2 + 3k + 2} = \sum_{k=1}^{10} \left(\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2}\right)$

$= \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{11} - \frac{1}{12}\right)$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{12} = \frac{6}{12} - \frac{1}{12} = \frac{5}{12}$

(2)

分母を有理化する。

$\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(k+1) - k} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$

$= (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$

$= \sqrt{n+1} - \sqrt{1} = \sqrt{n+1} - 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{12}$

(2) $\sqrt{n+1} - 1$