関数 $f(x) = \sqrt{x}$ について、$a=1$, $b=4$ のとき、$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$ かつ $a < c < b$ を満たす $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{x}$ について、$a=1$, $b=4$ のとき、$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$ かつ $a < c < b$ を満たす $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \sqrt{x}$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = x^{\frac{1}{2}}$ なので、$f'(x) = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ となります。

次に、$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ を計算します。

$a=1$, $b=4$ なので、$f(a) = f(1) = \sqrt{1} = 1$, $f(b) = f(4) = \sqrt{4} = 2$ です。

よって、$\frac{f(4)-f(1)}{4-1} = \frac{2-1}{4-1} = \frac{1}{3}$ となります。

問題文より、$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$ なので、$\frac{1}{3} = f'(c)$ が成り立ちます。

$f'(c) = \frac{1}{2\sqrt{c}}$ なので、$\frac{1}{3} = \frac{1}{2\sqrt{c}}$ となります。

これを解くと、$2\sqrt{c} = 3$ より、$\sqrt{c} = \frac{3}{2}$ となり、$c = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$ となります。

最後に、$a < c < b$ を満たすか確認します。

$a=1$, $b=4$ であり、$c = \frac{9}{4} = 2.25$ なので、$1 < 2.25 < 4$ を満たします。

3. 最終的な答え

$c = \frac{9}{4}$