$a > 0$ とする。放物線 $y = x^2 - 4ax + 3a^2$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積が $100$ のとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$ とする。放物線 $y = x^2 - 4ax + 3a^2$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積が $100$ のとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 - 4ax + 3a^2$ と $x$ 軸との交点を求めます。

$x^2 - 4ax + 3a^2 = 0$ を解くと、

$(x-a)(x-3a) = 0$

となるので、$x = a, 3a$ が交点の $x$ 座標です。

次に、放物線と $x$ 軸で囲まれる部分の面積 $S$ を求めます。$a>0$ より、$3a > a$ なので、積分区間は $[a, 3a]$ です。放物線は下に凸なので、囲まれる面積は定積分の絶対値として計算できます。

$$S = \left| \int_a^{3a} (x^2 - 4ax + 3a^2) \, dx \right|$$

$$S = \left| \left[ \frac{1}{3}x^3 - 2ax^2 + 3a^2x \right]_a^{3a} \right|$$

$$S = \left| \left( \frac{1}{3}(3a)^3 - 2a(3a)^2 + 3a^2(3a) \right) - \left( \frac{1}{3}a^3 - 2a(a)^2 + 3a^2(a) \right) \right|$$

$$S = \left| \left( 9a^3 - 18a^3 + 9a^3 \right) - \left( \frac{1}{3}a^3 - 2a^3 + 3a^3 \right) \right|$$

$$S = \left| 0 - \frac{4}{3}a^3 \right|$$

$$S = \frac{4}{3}a^3$$

問題文より、$S = 100$ なので、

$\frac{4}{3}a^3 = 100$

$a^3 = \frac{3}{4} \times 100$

$a^3 = 75$

$a = \sqrt[3]{75} = \sqrt[3]{25 \times 3} = 5^{\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{1}{3}}$

したがって、$a = \sqrt[3]{75}$ となります。

3. 最終的な答え

$a = \sqrt[3]{75}$