関数 $f(x, y) = \frac{x + 5y}{x - 2xy}$ の偏導関数 $f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \frac{x + 5y}{x - 2xy}$ の偏導関数 $f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f_x(x, y)$ を求めます。$y$ を定数とみなして、$x$ で偏微分します。商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x + 5y$, $v = x - 2xy$ とすると、

$u' = \frac{\partial u}{\partial x} = 1$, $v' = \frac{\partial v}{\partial x} = 1 - 2y$ です。

したがって、

$f_x(x, y) = \frac{1 \cdot (x - 2xy) - (x + 5y) \cdot (1 - 2y)}{(x - 2xy)^2} = \frac{x - 2xy - (x - 2xy + 5y - 10y^2)}{(x - 2xy)^2} = \frac{x - 2xy - x + 2xy - 5y + 10y^2}{(x - 2xy)^2} = \frac{-5y + 10y^2}{(x - 2xy)^2} = \frac{5y(2y - 1)}{x^2(1 - 2y)^2}$

次に、$f_y(x, y)$ を求めます。$x$ を定数とみなして、$y$ で偏微分します。

$u = x + 5y$, $v = x - 2xy$ とすると、

$\frac{\partial u}{\partial y} = 5$, $\frac{\partial v}{\partial y} = -2x$ です。

したがって、

$f_y(x, y) = \frac{5 \cdot (x - 2xy) - (x + 5y) \cdot (-2x)}{(x - 2xy)^2} = \frac{5x - 10xy + 2x^2 + 10xy}{(x - 2xy)^2} = \frac{5x + 2x^2}{(x - 2xy)^2} = \frac{x(5 + 2x)}{x^2(1 - 2y)^2} = \frac{5 + 2x}{x(1 - 2y)^2}$

$f_x(x, y) = \frac{-5y + 10y^2}{(x - 2xy)^2} = \frac{5y(2y - 1)}{x^2(1 - 2y)^2}$

$f_y(x, y) = \frac{5x + 2x^2}{(x - 2xy)^2} = \frac{x(5 + 2x)}{x^2(1 - 2y)^2}$

3. 最終的な答え

$f_x(x, y) = \frac{-5y + 10y^2}{(x - 2xy)^2}$

$f_y(x, y) = \frac{5x + 2x^2}{(x - 2xy)^2}$