最初の問題は、$1, 3, 5, \dots$ 円の奇数金額のコインがたくさんあるときに、$n$ 円を支払うコインの組み合わせの総数を $OP_n$ で表す場合、$OP_{11}$ を求める問題です。 次の問題は、1から9までの数字が書かれた9枚のカードから4枚を選んで並べ、2桁の数を2組作ったとき、その和が93となるような2桁の数の組み合わせが何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

最初の問題は、$1, 3, 5, \dots$ 円の奇数金額のコインがたくさんあるときに、$n$ 円を支払うコインの組み合わせの総数を $OP_n$ で表す場合、$OP_{11}$ を求める問題です。

次の問題は、1から9までの数字が書かれた9枚のカードから4枚を選んで並べ、2桁の数を2組作ったとき、その和が93となるような2桁の数の組み合わせが何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$OP_{11}$を求めます。11円を奇数金額のコインで支払う組み合わせを考えます。

* 11円玉1枚

* 9円玉1枚と1円玉2枚

* 7円玉1枚と3円玉1枚と1円玉1枚

* 7円玉1枚と1円玉4枚

* 5円玉1枚と5円玉1枚と1円玉1枚

* 5円玉1枚と3円玉2枚

* 5円玉1枚と3円玉1枚と1円玉3枚

* 5円玉1枚と1円玉6枚

* 3円玉3枚と1円玉2枚

* 3円玉2枚と1円玉5枚

* 3円玉1枚と1円玉8枚

* 1円玉11枚

したがって、$OP_{11} = 12$ となります。

次に、和が93になる2桁の数の組み合わせを求めます。

2つの2桁の数 $AB$ と $CD$ があり、$AB + CD = 93$ です。

ここで、$A, B, C, D$ は1から9までの異なる整数です。

$AB + CD = 10A + B + 10C + D = 10(A+C) + (B+D) = 93$

$A + C$ は8か9になります。

もし $A+C = 8$ なら、$B+D = 13$。

もし $A+C = 9$ なら、$B+D = 3$。

$A+C = 8$となる組み合わせ:

(1, 7), (2, 6), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1)

$B+D = 13$となる組み合わせ:

(4, 9), (5, 8), (6, 7), (7, 6), (8, 5), (9, 4)

$A+C = 9$となる組み合わせ:

(1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1)

$B+D = 3$となる組み合わせ:

(1, 2), (2, 1)

それぞれの組み合わせで4つの数字が全て異なっているかを確かめる必要があります。

例: A+C = 1+7, B+D = 4+9 -> 14 + 79 = 93

19 + 74 = 93

74 + 19 = 93

79 + 14 = 93

組み合わせを探します。

(1,2,7,8) -> 12+81,18+72

(1,3,6,8) -> 13+86,16+83

(1,4,5,8) -> 14+85,15+84

(1,4,6,7) -> 16+74,14+76

(2,3,5,8) -> 23+58,25+38

(2,4,5,7) -> 24+57,25+47

(2,4,6,5) -> 24+65 not available

実際に計算してみます。

12 + 81 = 93, 18 + 72 = 90

13 + 80 = 93, 16 + 77 = 93

14 + 79 = 93, 15 + 78 = 93

A+C = 8, B+D=13

A+C = 9, B+D=4

14 + 79

15 + 78

24 + 69

25 + 68

34 + 59

35 + 58

49 + 54

可能な組み合わせは12通りです。

3. 最終的な答え

$OP_{11} = 12$

2桁の数の組み合わせとして考えられるのは12通りです。