1から9までの数字が書かれた9枚のカードから4枚を選び、2桁の数を2組作る。これらの2つの数の和が93になる組み合わせは何通りあるか。

1. 問題の内容

1から9までの数字が書かれた9枚のカードから4枚を選び、2桁の数を2組作る。これらの2つの数の和が93になる組み合わせは何通りあるか。

2. 解き方の手順

2つの2桁の数を $ab$ と $cd$ とすると、

$ab + cd = 93$

となる。

$ab$ と $cd$ の一の位の和が3か13である必要がある。

まず、一の位の和が3になる場合を考える。

(1, 2), (2, 1) の組み合わせしかない。

* $a, c$ は残りの数から選ぶことになる。

* $b=1$, $d=2$ のとき、$10a+1 + 10c+2 = 93$ より $10a+10c = 90$, $a+c=9$となる。

$a, c$ は 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9から選ぶ必要があり、$a \ne c$ である。条件を満たすのは、(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)の4通り。

* $b=2$, $d=1$ のとき、$10a+2 + 10c+1 = 93$ より $10a+10c = 90$, $a+c=9$となる。

$a, c$ は 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9から選ぶ必要があり、$a \ne c$ である。条件を満たすのは、(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)の4通り。

よって、一の位の和が3になる場合は8通り。

次に、一の位の和が13になる場合を考える。

(4, 9), (5, 8), (6, 7), (7, 6), (8, 5), (9, 4) の組み合わせがある。

* $b=4$, $d=9$ のとき、$10a+4 + 10c+9 = 93$ より $10a+10c = 80$, $a+c=8$となる。

$a, c$ は 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8から選ぶ必要があり、$a \ne c$ である。条件を満たすのは、(1, 7), (2, 6), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1)の6通り。

* $b=5$, $d=8$ のとき、$10a+5 + 10c+8 = 93$ より $10a+10c = 80$, $a+c=8$となる。

$a, c$ は 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9から選ぶ必要があり、$a \ne c$ である。条件を満たすのは、(1, 7), (2, 6), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1)の6通り。

* $b=6$, $d=7$ のとき、$10a+6 + 10c+7 = 93$ より $10a+10c = 80$, $a+c=8$となる。

$a, c$ は 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9から選ぶ必要があり、$a \ne c$ である。条件を満たすのは、(1, 7), (2, 6), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1)の6通り。

* $b=7$, $d=6$ のとき、$10a+7 + 10c+6 = 93$ より $10a+10c = 80$, $a+c=8$となる。

$a, c$ は 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9から選ぶ必要があり、$a \ne c$ である。条件を満たすのは、(1, 7), (2, 6), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1)の6通り。

* $b=8$, $d=5$ のとき、$10a+8 + 10c+5 = 93$ より $10a+10c = 80$, $a+c=8$となる。

$a, c$ は 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9から選ぶ必要があり、$a \ne c$ である。条件を満たすのは、(1, 7), (2, 6), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1)の6通り。

* $b=9$, $d=4$ のとき、$10a+9 + 10c+4 = 93$ より $10a+10c = 80$, $a+c=8$となる。

$a, c$ は 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8から選ぶ必要があり、$a \ne c$ である。条件を満たすのは、(1, 7), (2, 6), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1)の6通り。

よって、一の位の和が13になる場合は6*6 = 36通り。

したがって、合計で 8 + 36 = 44 通り。

3. 最終的な答え

44通り