1円、3円、5円のような奇数の額面のコインを使って、合計 $n$ 円を支払う方法の総数を $OP_n$ で表します。例えば、$OP_5 = 3$ です。$OP_{11}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

1円、3円、5円のような奇数の額面のコインを使って、合計 $n$ 円を支払う方法の総数を $OP_n$ で表します。例えば、$OP_5 = 3$ です。$OP_{11}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

11円を支払う方法を考えます。使えるコインは1円、3円、5円、7円、9円、11円...です。

* 11円玉を使う場合: 11円玉1枚。（1通り）

* 9円玉を使う場合: 9円玉1枚と1円玉2枚。（1通り）

* 7円玉を使う場合:

* 7円玉1枚と1円玉4枚。（1通り）

* 7円玉1枚と3円玉1枚と1円玉1枚。（1通り）

* 5円玉を使う場合:

* 5円玉2枚と1円玉1枚。（1通り）

* 5円玉1枚と3円玉2枚。（1通り）

* 5円玉1枚と3円玉1枚と1円玉3枚。（1通り）

* 5円玉1枚と1円玉6枚。（1通り）

* 3円玉を使う場合:

* 3円玉3枚と1円玉2枚。（1通り）

* 3円玉2枚と1円玉5枚。（1通り）

* 3円玉1枚と1円玉8枚。（1通り）

* 3円玉0枚と1円玉11枚。（1通り）

1円玉のみを使う場合: 1円玉11枚。（1通り）

11円の支払いを考えるにあたり、大きい金額の硬貨から順に考え、小さい金額の硬貨で調整することを意識します。

* 11円玉を1枚使う: 1通り

* 9円玉を1枚使う: 残り2円なので、1円玉2枚。1通り

* 7円玉を1枚使う: 残り4円なので、1円玉4枚、または3円玉1枚と1円玉1枚。2通り

* 5円玉を1枚使う: 残り6円なので、1円玉6枚、3円玉1枚と1円玉3枚、または3円玉2枚。3通り

* 3円玉を1枚使う: 残り8円なので、1円玉8枚、3円玉1枚と1円玉5枚、または3円玉2枚と1円玉2枚。３円玉２枚と１円玉２枚、または３円玉２枚。3円玉３枚に近いですが、3円玉2枚では２円不足します。3円玉２枚と１円玉２枚。3通り

* 1円玉のみを使用する場合: 1通り

これらを合計すると、

$1 + 1 + 2 + 3 + 4 = 11$ 通り

$OP_{11} = 11$

3. 最終的な答え

11