問題1：ある果樹園のりんごについて、20個を採取して平均をとったところ、182gであった。この果樹園のりんごの分散が400と分かっているとき、果樹園のりんご全体の平均を95%信頼区間で求めよ。 問題2：バレンタインデーにロイズの生チョコを20個入りの30箱買った。30箱の平均値が180gであったとき、ロイズの生チョコ一箱の母平均を95%信頼区間で区間推定せよ。ただし母分散が25でわかっているとする。

1. 問題の内容

問題1：ある果樹園のりんごについて、20個を採取して平均をとったところ、182gであった。この果樹園のりんごの分散が400と分かっているとき、果樹園のりんご全体の平均を95%信頼区間で求めよ。

問題2：バレンタインデーにロイズの生チョコを20個入りの30箱買った。30箱の平均値が180gであったとき、ロイズの生チョコ一箱の母平均を95%信頼区間で区間推定せよ。ただし母分散が25でわかっているとする。

2. 解き方の手順

問題1：

母分散が既知の場合の母平均の信頼区間を求める問題です。

95%信頼区間は、以下の式で求められます。

$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、

$\bar{x}$ は標本平均 (182g)

$z_{\alpha/2}$ は標準正規分布の $\alpha/2$ の値 (95%信頼区間なので、$z_{0.025} = 1.96$)

$\sigma$ は母標準偏差 ($\sqrt{400} = 20$)

$n$ は標本サイズ (20)

です。

したがって、信頼区間は、

$182 \pm 1.96 \times \frac{20}{\sqrt{20}}$

$182 \pm 1.96 \times \frac{20}{2\sqrt{5}}$

$182 \pm 1.96 \times \frac{10}{\sqrt{5}}$

$182 \pm 1.96 \times 2\sqrt{5} \approx 182 \pm 8.76$

問題2：

こちらも母分散が既知の場合の母平均の信頼区間を求める問題です。

$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、

$\bar{x}$ は標本平均 (180g)

$z_{\alpha/2}$ は標準正規分布の $\alpha/2$ の値 (95%信頼区間なので、$z_{0.025} = 1.96$)

$\sigma$ は母標準偏差 ($\sqrt{25} = 5$)

$n$ は標本サイズ (30)

です。

したがって、信頼区間は、

$180 \pm 1.96 \times \frac{5}{\sqrt{30}}$

$180 \pm 1.96 \times \frac{5}{\sqrt{30}} \approx 180 \pm 1.79$

3. 最終的な答え

問題1：

果樹園のりんご全体の平均の95%信頼区間は[173.24, 190.76]です。

問題2：

ロイズの生チョコ一箱の母平均の95%信頼区間は[178.21, 181.79]です。