与えられた関数の微分を計算します。関数は $x\sqrt{a^2-x^2} + a^2\arcsin\frac{x}{a}$ であり、$a > 0$ です。

1. 問題の内容

与えられた関数の微分を計算します。関数は $x\sqrt{a^2-x^2} + a^2\arcsin\frac{x}{a}$ であり、$a > 0$ です。

2. 解き方の手順

与えられた関数を $y$ とおくと、

$y = x\sqrt{a^2 - x^2} + a^2\arcsin\frac{x}{a}$

両辺を $x$ について微分します。積の微分法と合成関数の微分法を使います。

$\frac{d}{dx}(x\sqrt{a^2-x^2}) = (1)\sqrt{a^2-x^2} + x\frac{1}{2\sqrt{a^2-x^2}}(-2x) = \sqrt{a^2-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{a^2 - x^2 - x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{a^2 - 2x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}$

$\frac{d}{dx}(a^2\arcsin\frac{x}{a}) = a^2\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}}\frac{1}{a} = \frac{a^2}{a\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}} = \frac{a}{\sqrt{\frac{a^2-x^2}{a^2}}} = \frac{a}{\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}} = \frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{a^2 - 2x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} + \frac{a^2}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{a^2 - 2x^2 + a^2}{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{2(a^2 - x^2)}{\sqrt{a^2-x^2}} = 2\sqrt{a^2 - x^2}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{a^2 - x^2}$