問題は2つの部分から構成されています。 (1) $\cos\frac{\pi}{3}$ と $\sin\frac{\pi}{3}$ の値を求め、さらに $n < \frac{\pi}{3} < n+1$ を満たす整数 $n$ を求めます。 (2) $\frac{1}{2}$, $\cos 1$, $\cos 2$ の大小関係を求めます。ここで、角度の単位はラジアンです。 また、 $y = \sin^2 x + 4\sin x \cos x + 5\cos^2 x$ のとりうる値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

問題は2つの部分から構成されています。

(1) $\cos\frac{\pi}{3}$ と $\sin\frac{\pi}{3}$ の値を求め、さらに $n < \frac{\pi}{3} < n+1$ を満たす整数 $n$ を求めます。

(2) $\frac{1}{2}$, $\cos 1$, $\cos 2$ の大小関係を求めます。ここで、角度の単位はラジアンです。

また、 $y = \sin^2 x + 4\sin x \cos x + 5\cos^2 x$ のとりうる値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

* $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

* $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

* $\pi \approx 3.14$ であるから、 $\frac{\pi}{3} \approx 1.046...$。したがって $1 < \frac{\pi}{3} < 2$ であり、$n=1$ です。

(2)

$\cos 1$ と $\cos 2$ の大小関係を考えます。

$1$ ラジアンは約 $57.3$ 度，$2$ ラジアンは約 $114.6$ 度です。

* $\cos 1 > 0$

* $\cos 2 < 0$

よって $\cos 2 < \frac{1}{2} < \cos 1$

$y = \sin^2 x + 4\sin x \cos x + 5\cos^2 x$ の値の範囲を求める問題です。

$y = \sin^2 x + \cos^2 x + 4 \sin x \cos x + 4\cos^2 x$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ なので

$y = 1 + 2(2 \sin x \cos x) + 4 \cos^2 x$

$y = 1 + 2 \sin 2x + 4 \cos^2 x$

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ より

$y = 1 + 2 \sin 2x + 4 \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right)$

$y = 1 + 2 \sin 2x + 2 + 2 \cos 2x$

$y = 2 \sin 2x + 2 \cos 2x + 3$

$y = 2 \sin 2x + 2 \cos 2x + 3 = 2\sqrt{2} \sin (2x + \frac{\pi}{4}) + 3$

$\sin(2x + \frac{\pi}{4})$ の範囲は $-1 \le \sin(2x + \frac{\pi}{4}) \le 1$ なので、

$-2\sqrt{2} + 3 \le y \le 2\sqrt{2} + 3$

3. 最終的な答え

(1) $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $n = 1$

(2) $\cos 2 < \frac{1}{2} < \cos 1$

$y$ のとりうる値の範囲は $-2\sqrt{2} + 3 \le y \le 2\sqrt{2} + 3$