$a \ge 0$である定数$a$に対して、$f(x) = 2x^3 - 3(a+1)x^2 + 6ax + a$とする。 (1) $f'(x)$を求めよ。 (2) $a=0$のとき、$f(x)$の極値を求め、関数$y=f(x)$のグラフをかけ。 (3) $x \ge 0$において、$f(x) \ge 0$となるような$a$の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a \ge 0$である定数$a$に対して、$f(x) = 2x^3 - 3(a+1)x^2 + 6ax + a$とする。

(1) $f'(x)$を求めよ。

(2) $a=0$のとき、$f(x)$の極値を求め、関数$y=f(x)$のグラフをかけ。

(3) $x \ge 0$において、$f(x) \ge 0$となるような$a$の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f'(x)$を求める。

$f(x) = 2x^3 - 3(a+1)x^2 + 6ax + a$なので、

$f'(x) = 6x^2 - 6(a+1)x + 6a = 6(x^2 - (a+1)x + a) = 6(x-1)(x-a)$

(2) $a=0$のとき、$f(x)$の極値を求める。

$a=0$のとき、$f(x) = 2x^3 - 3x^2$、$f'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x-1)$

$f'(x) = 0$となる$x$は、$x=0, 1$

$x<0$で$f'(x)>0$、$0<x<1$で$f'(x)<0$、$x>1$で$f'(x)>0$となる。

増減表は以下のようになる。

| x | ... | 0 | ... | 1 | ... |

| ----- | --- | --- | --- | --- | --- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↑ | 0 | ↓ | -1| ↑ |

したがって、$x=0$で極大値$0$、$x=1$で極小値$-1$をとる。

$y=f(x)$のグラフは、$f(0)=0$、$f(1)=-1$、$f(2)=16-12=4$などから、x軸との交点は$x=0, 3/2$となる。

(3) $x \ge 0$において、$f(x) \ge 0$となるような$a$の値の範囲を求める。

$f(x) = 2x^3 - 3(a+1)x^2 + 6ax + a = 2x^3 - 3ax^2 - 3x^2 + 6ax + a$

$f(0) = a \ge 0$であるから、まず$x>0$で考える。

$f(x) \ge 0$とする。

$x>0$において、$f(x) \ge 0$となる条件を求める。

$f'(x) = 6(x-1)(x-a)$

$a \ge 0$より、$a$の値で場合分けする。

(i) $0 \le a \le 1$のとき

$x<a$で$f'(x)>0$、$a<x<1$で$f'(x)<0$、$x>1$で$f'(x)>0$

増減表は以下のようになる。

| x | 0 | ... | a | ... | 1 | ... |

| ----- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| f'(x) | | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | a | ↑ | | ↓ | | ↑ |

$f(1) = 2 - 3(a+1) + 6a + a = 4a - 1$

$f(a) = 2a^3 - 3(a+1)a^2 + 6a^2 + a = 2a^3 - 3a^3 - 3a^2 + 6a^2 + a = -a^3 + 3a^2 + a = a(-a^2 + 3a + 1)$

$f(1) = 4a-1 \ge 0$より、$a \ge \frac{1}{4}$

また、$g(a)=-a^2+3a+1>0$を解くと、

$a = \frac{-3 \pm \sqrt{9+4}}{-2}=\frac{3\pm \sqrt{13}}{2}$

$a \ge 0$なので、$0 \le a \le \frac{3+ \sqrt{13}}{2} \approx 3.3$

$0 \le a \le 1$と$a \ge \frac{1}{4}$と組み合わせると$\frac{1}{4}\le a \le 1$。

(ii) $a > 1$のとき

$x<1$で$f'(x)>0$、$1<x<a$で$f'(x)<0$、$x>a$で$f'(x)>0$

$f(1) = 4a-1$

$4a-1 \ge 0$より、$a \ge \frac{1}{4}$なので、$a>1$を満たす。

$f(a) = a(-a^2 + 3a + 1)$

$a \le \frac{3+\sqrt{13}}{2}$

(iii) $a=1$のとき

$f'(x) = 6(x-1)^2 \ge 0$

$f(1) = 4a -1 = 3 >0$

$f(x)$は単調増加である。

(i)(ii)(iii)より、$a \ge \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$a \ge \frac{1}{4}$