曲線 $C: y = x^3 + 3x^2 - x + 1$ と直線 $l: y = px + q$ について、以下の問題を解きます。 (1) $p=2$ のとき、曲線 $C$ と直線 $l$ が2個以上の共有点を持つような $q$ の範囲を求めます。 (2) どのような $q$ の値に対しても、曲線 $C$ と直線 $l$ の共有点が1個となるような $p$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = x^3 + 3x^2 - x + 1$ と直線 $l: y = px + q$ について、以下の問題を解きます。

(1) $p=2$ のとき、曲線 $C$ と直線 $l$ が2個以上の共有点を持つような $q$ の範囲を求めます。

(2) どのような $q$ の値に対しても、曲線 $C$ と直線 $l$ の共有点が1個となるような $p$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $p=2$ のとき、曲線 $C$ と直線 $l$ の共有点の $x$ 座標は、方程式

$x^3 + 3x^2 - x + 1 = 2x + q$

の解となります。この方程式を変形すると、

$x^3 + 3x^2 - 3x + (1-q) = 0$

となります。この3次方程式が2個以上の実数解を持つ条件を求めます。$f(x) = x^3 + 3x^2 - 3x + (1-q)$ とおくと、$f'(x) = 3x^2 + 6x - 3 = 3(x^2 + 2x - 1)$ となります。$f'(x) = 0$ となるのは、$x = -1 \pm \sqrt{2}$ のときです。$x = -1 - \sqrt{2}$ のとき極大値をとり、$x = -1 + \sqrt{2}$ のとき極小値をとります。2個以上の共有点を持つ条件は、極大値と極小値の積が0以下になることです。

極大値は $f(-1 - \sqrt{2}) = (-1-\sqrt{2})^3 + 3(-1-\sqrt{2})^2 - 3(-1-\sqrt{2}) + 1 - q = 2\sqrt{2} + 6 - q$ です。

極小値は $f(-1 + \sqrt{2}) = (-1+\sqrt{2})^3 + 3(-1+\sqrt{2})^2 - 3(-1+\sqrt{2}) + 1 - q = -2\sqrt{2} + 6 - q$ です。

したがって、$(2\sqrt{2} + 6 - q)(-2\sqrt{2} + 6 - q) \le 0$ より、$(6-q)^2 - (2\sqrt{2})^2 \le 0$ となり、$(6-q)^2 \le 8$ となります。

よって、$|6-q| \le 2\sqrt{2}$ より、$6 - 2\sqrt{2} \le q \le 6 + 2\sqrt{2}$ となります。

(2) 曲線 $C$ と直線 $l$ の共有点が1個となるのは、方程式

$x^3 + 3x^2 - x + 1 = px + q$

すなわち

$x^3 + 3x^2 - (1+p)x + (1-q) = 0$

がただ1つの実数解を持つ場合です。$g(x) = x^3 + 3x^2 - (1+p)x + (1-q)$ とおくと、$g'(x) = 3x^2 + 6x - (1+p)$ となります。

$g'(x)=0$ が実数解を持たないとき、$g(x)$ は単調増加となり、共有点は1つとなります。

$g'(x) = 0$ が実数解を持たない条件は、$g'(x) = 3x^2 + 6x - (1+p)$ の判別式 $D < 0$ です。

$D = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1-p) = 36 + 12 + 12p = 48 + 12p < 0$ となるので、$12p < -48$ より $p < -4$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $6 - 2\sqrt{2} \le q \le 6 + 2\sqrt{2}$

(2) $p < -4$