微分方程式 $y'' + y = 3\cos(2t)$ を、初期条件 $y(0) = 3$, $y'(0) = -1$ の下で、ラプラス変換を用いて解く。

## 問題5

1. 問題の内容

微分方程式 $y'' + y = 3\cos(2t)$ を、初期条件 $y(0) = 3$, $y'(0) = -1$ の下で、ラプラス変換を用いて解く。

2. 解き方の手順

(1) ラプラス変換の定義を用いて、微分方程式の両辺をラプラス変換する。

ラプラス変換の公式:

$L\{y''\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$

$L\{y\} = Y(s)$

$L\{\cos(at)\} = \frac{s}{s^2 + a^2}$

(2) 初期条件 $y(0) = 3$, $y'(0) = -1$ を代入する。

(3) 得られた式を $Y(s)$ について解く。

(4) 部分分数分解を用いて、 $Y(s)$ を既知のラプラス変換の形に変形する。

(5) 逆ラプラス変換を行うことで、 $y(t)$ を求める。

逆ラプラス変換の公式:

$L^{-1}\{\frac{s}{s^2 + a^2}\} = \cos(at)$

$L^{-1}\{\frac{1}{s^2 + a^2}\} = \frac{1}{a}\sin(at)$

具体的な計算:

微分方程式 $y'' + y = 3\cos(2t)$ の両辺をラプラス変換すると、

$L\{y''\} + L\{y\} = 3L\{\cos(2t)\}$

$s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + Y(s) = 3\frac{s}{s^2 + 4}$

初期条件 $y(0) = 3, y'(0) = -1$ を代入すると、

$s^2Y(s) - 3s + 1 + Y(s) = \frac{3s}{s^2 + 4}$

$(s^2 + 1)Y(s) = 3s - 1 + \frac{3s}{s^2 + 4}$

$Y(s) = \frac{3s - 1}{s^2 + 1} + \frac{3s}{(s^2 + 1)(s^2 + 4)}$

$Y(s) = \frac{3s}{s^2 + 1} - \frac{1}{s^2 + 1} + \frac{3s}{(s^2 + 1)(s^2 + 4)}$

ここで、$\frac{3s}{(s^2 + 1)(s^2 + 4)}$ を部分分数分解する。

$\frac{3s}{(s^2 + 1)(s^2 + 4)} = \frac{As + B}{s^2 + 1} + \frac{Cs + D}{s^2 + 4}$

$3s = (As + B)(s^2 + 4) + (Cs + D)(s^2 + 1)$

$3s = As^3 + 4As + Bs^2 + 4B + Cs^3 + Cs + Ds^2 + D$

$3s = (A+C)s^3 + (B+D)s^2 + (4A+C)s + (4B+D)$

係数を比較すると、

$A+C = 0$

$B+D = 0$

$4A+C = 3$

$4B+D = 0$

これらを解くと、 $A = 1, C = -1, B = 0, D = 0$ となる。

よって、$\frac{3s}{(s^2 + 1)(s^2 + 4)} = \frac{s}{s^2 + 1} - \frac{s}{s^2 + 4}$

$Y(s) = \frac{3s}{s^2 + 1} - \frac{1}{s^2 + 1} + \frac{s}{s^2 + 1} - \frac{s}{s^2 + 4}$

$Y(s) = \frac{4s}{s^2 + 1} - \frac{1}{s^2 + 1} - \frac{s}{s^2 + 4}$

逆ラプラス変換を行うと、

$y(t) = 4\cos(t) - \sin(t) - \cos(2t)$

3. 最終的な答え

$y(t) = 4\cos(t) - \sin(t) - \cos(2t)$