問題12は、ベクトル関数 $\mathbf{r} = (u, v, \sqrt{1-u^2})$ で表される曲面について、以下のものを求める問題です。 (a) $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}$ (b) $\left| \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right|$ (c) $(u, v)$ に対応する曲面上の点における単位法線ベクトル 問題13は、ベクトル関数 $\mathbf{r} = (u \cos v, u \sin v, u)$ ($0 \le u \le 1, 0 \le v \le 2\pi$) で表される曲面の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

問題12は、ベクトル関数 $\mathbf{r} = (u, v, \sqrt{1-u^2})$ で表される曲面について、以下のものを求める問題です。

(a) $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}$

(b) $\left| \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right|$

(c) $(u, v)$ に対応する曲面上の点における単位法線ベクトル

問題13は、ベクトル関数 $\mathbf{r} = (u \cos v, u \sin v, u)$ ($0 \le u \le 1, 0 \le v \le 2\pi$) で表される曲面の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

**問題12**

(a) まず、偏微分を計算します。

$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} = (1, 0, \frac{-u}{\sqrt{1-u^2}})$

$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} = (0, 1, 0)$

次に、外積を計算します。

$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & \frac{-u}{\sqrt{1-u^2}} \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}, 0, 1)$

(b) 外積の絶対値を計算します。

$\left| \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right| = \sqrt{(\frac{u}{\sqrt{1-u^2}})^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{u^2}{1-u^2} + 1} = \sqrt{\frac{u^2 + 1 - u^2}{1-u^2}} = \sqrt{\frac{1}{1-u^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$

(c) 単位法線ベクトルを計算します。

$\mathbf{n} = \frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}}{\left| \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right|} = \frac{(\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}, 0, 1)}{\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}} = (u, 0, \sqrt{1-u^2})$

**問題13**

まず、偏微分を計算します。

$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} = (\cos v, \sin v, 1)$

$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} = (-u \sin v, u \cos v, 0)$

次に、外積を計算します。

$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \cos v & \sin v & 1 \\ -u \sin v & u \cos v & 0 \end{vmatrix} = (-u \cos v, -u \sin v, u \cos^2 v + u \sin^2 v) = (-u \cos v, -u \sin v, u)$

外積の絶対値を計算します。

$\left| \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right| = \sqrt{(-u \cos v)^2 + (-u \sin v)^2 + u^2} = \sqrt{u^2 \cos^2 v + u^2 \sin^2 v + u^2} = \sqrt{u^2 + u^2} = \sqrt{2u^2} = \sqrt{2}u$

曲面の面積を計算します。

$S = \iint_D \left| \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right| du dv = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \sqrt{2}u du dv = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} [\frac{1}{2}u^2]_0^1 dv = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} dv = \frac{\sqrt{2}}{2} [v]_0^{2\pi} = \frac{\sqrt{2}}{2} (2\pi) = \sqrt{2}\pi$

3. 最終的な答え

**問題12**

(a) $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} = (\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}, 0, 1)$

(b) $\left| \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right| = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$

(c) $\mathbf{n} = (u, 0, \sqrt{1-u^2})$

**問題13**

$S = \sqrt{2}\pi$