以下の2つの不定積分を計算します。 (1) $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ (2) $\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) dx$

1. 問題の内容

以下の2つの不定積分を計算します。

(1) $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

(2) $\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ を計算します。

$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$ なので、

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int x^{-\frac{1}{2}} dx$

指数の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （$n \neq -1$）を使うと、

$\int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C$

(2) $\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) dx$ を計算します。

$\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) dx = \int \frac{1}{x} dx + \int \frac{1}{x^2} dx$

$\int \frac{1}{x} dx = \log|x| + C_1$

$\int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C_2 = \frac{x^{-1}}{-1} + C_2 = -\frac{1}{x} + C_2$

したがって、

$\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) dx = \log|x| - \frac{1}{x} + C$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{x} + C$

(2) $\log|x| - \frac{1}{x} + C$