関数 $f(x) = 1 - x^2$ ($x \geq 0$) が与えられたとき、以下の積分を計算し、選択肢から適切な答えを選びます。 (1) $\int_0^1 f(f(x)) \, dx$ (2) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \cos x \, dx$ (3) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sqrt{x}) \sin x \, dx$ (4) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f^{-1}(\sin^2 x) \cos x \, dx$

はい、承知しました。問題文と選択肢を考慮して、以下の通り解答します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 1 - x^2$ ($x \geq 0$) が与えられたとき、以下の積分を計算し、選択肢から適切な答えを選びます。

(1) $\int_0^1 f(f(x)) \, dx$

(2) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \cos x \, dx$

(3) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sqrt{x}) \sin x \, dx$

(4) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f^{-1}(\sin^2 x) \cos x \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_0^1 f(f(x)) \, dx$ の計算

まず、$f(f(x))$ を求めます。

$f(f(x)) = 1 - (1 - x^2)^2 = 1 - (1 - 2x^2 + x^4) = 2x^2 - x^4$

次に、積分を計算します。

$\int_0^1 (2x^2 - x^4) \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{5}x^5 \right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{5} = \frac{10 - 3}{15} = \frac{7}{15}$

(2) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \cos x \, dx$ の計算

$f(\sin x) = 1 - \sin^2 x = \cos^2 x$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \cos x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \, dx$

$\cos^3 x = \cos x (1 - \sin^2 x)$ なので、

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x (1 - \sin^2 x) \, dx$

$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x \, dx$

積分範囲は $x: 0 \to \frac{\pi}{2}$ から $u: 0 \to 1$ に変わります。

$\int_0^1 (1 - u^2) \, du = \left[ u - \frac{1}{3}u^3 \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

(3) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sqrt{x}) \sin x \, dx$ の計算

$f(\sqrt{x}) = 1 - (\sqrt{x})^2 = 1 - x$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} (1-x) \sin x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$ は部分積分で計算します。

$u = x$, $dv = \sin x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\cos x$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx = [-x\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = 0 + [\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} = 1$

したがって、$\int_0^{\frac{\pi}{2}} (1-x) \sin x \, dx = 1 - 1 = 0$

(4) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f^{-1}(\sin^2 x) \cos x \, dx$ の計算

$f(x) = 1 - x^2$ より、$y = 1 - x^2$ とすると、$x^2 = 1 - y$ であり、$x \geq 0$ より、$x = \sqrt{1 - y}$。

したがって、$f^{-1}(y) = \sqrt{1 - y}$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} f^{-1}(\sin^2 x) \cos x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - \sin^2 x} \cos x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos^2 x} \cos x \, dx$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cos x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx$

$= \frac{1}{2} \left[ x + \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + 0 - (0 + 0) \right] = \frac{\pi}{4}$

したがって、答えは

(1) $\frac{7}{15}$

(2) $\frac{2}{3}$

(3) $0$ (選択肢2)

(4) $\frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 7/15

(2) 2/3

(3) 0

(4) π/4

したがって選択肢から選ぶと：

(3)の答え: 選択肢2 (0)

(4)の答え: 分子は π, 分母は 4

分母に4がある選択肢がないので、問題文か選択肢に誤りがあるかもしれません。最も近い選択肢は選択肢1 (1)ですが、これは正しくありません。

（3) 0

（4) π/4

問題文に与えられた選択肢から最も適切なものを選ぶ、という前提のもとでは、上記が回答となります。

特に(4)については、選択肢に正しい値が含まれていない可能性があります。