与えられた画像にある数学の問題を解きます。具体的には、数の大小比較、不等式を満たす整数の特定、平方根の計算、平方根が整数となるような数の特定、そして図形に関する問題が含まれています。

1. 問題の内容

与えられた画像にある数学の問題を解きます。具体的には、数の大小比較、不等式を満たす整数の特定、平方根の計算、平方根が整数となるような数の特定、そして図形に関する問題が含まれています。

2. 解き方の手順

(1) $2$ と $\sqrt{3}$ の大小を比較します。$2 = \sqrt{4}$ なので、$\sqrt{4} > \sqrt{3}$。したがって、$2 > \sqrt{3}$。

(2) $-\sqrt{2}$ と $-3$ の大小を比較します。$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、$-\sqrt{2} \approx -1.414$。よって、$-\sqrt{2} > -3$。

(3) $\sqrt{\frac{5}{8}}$ と $\frac{3}{4}$ の大小を比較します。$\sqrt{\frac{5}{8}} = \sqrt{\frac{10}{16}}$ と $\frac{3}{4} = \frac{6}{8} = \sqrt{\frac{36}{64}} = \sqrt{\frac{9}{16}}$。 $\frac{10}{16} > \frac{9}{16}$なので、 $\sqrt{\frac{5}{8}} > \frac{3}{4}$。

(1) $2 < \sqrt{x} < 3$ を満たす自然数 $x$ をすべて求めます。$2 = \sqrt{4}$ かつ $3 = \sqrt{9}$ なので、$\sqrt{4} < \sqrt{x} < \sqrt{9}$。したがって、$4 < x < 9$ を満たす自然数 $x$ は、5, 6, 7, 8 です。

(2) $\sqrt{5} = 2.236$、$\sqrt{50} = 7.071$ として、$\sqrt{0.5}$ の値を求めます。$\sqrt{0.5} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{5}{10}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2} \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. 与えられた情報を使うと, $\sqrt{0.5} = \sqrt{\frac{50}{100}} = \frac{\sqrt{50}}{10} = \frac{7.071}{10} = 0.7071$.

(3) $\sqrt{18-n}$ が整数となるような自然数 $n$ の値をすべて求めます。$18 - n$ が平方数であればよい。$18-n = 0, 1, 4, 9, 16$ となればよい。

$18 - n = 0$ なら $n = 18$

$18 - n = 1$ なら $n = 17$

$18 - n = 4$ なら $n = 14$

$18 - n = 9$ なら $n = 9$

$18 - n = 16$ なら $n = 2$

したがって、$n = 2, 9, 14, 17, 18$。

(4) $\sqrt{18n}$ が整数となるような正の整数 $n$ のうちで、最も小さい $n$ の値を求めます。$\sqrt{18n} = \sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot n}$。これが整数となるには、$n = 2k^2$ の形であればよい。$n$ は正の整数なので、最小の $n$ は $n=2$ となり、$\sqrt{18n} = \sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6$.

(5) $\sqrt{\frac{18}{n}}$ が整数となるような正の数 $n$ のうちで、最も小さい $n$ の値を求めます。$\sqrt{\frac{18}{n}}$ が整数となるためには $\frac{18}{n}$が平方数になる必要がある。$\frac{18}{n} = 1,4,9,16$

の場合、$n = 18, 18/4=4.5,2, 18/16$. したがって,$n = 2, 4.5, 18/16, 18$.

$n$ は正の数なので、 $\frac{18}{n} = m^2$, $n = \frac{18}{m^2}$.

$m=1, n=18$; $m=2, n=\frac{18}{4}=4.5$, $m=3, n=\frac{18}{9}=2$

$m=6 n= 18/36 = 0.5$.

$n=2$

(6) 面積が4 cm$^2$ となる1辺の長さが$\sqrt{2}$ cmである長方形を書きなさい。面積が4で、1辺が$\sqrt{2}$の長方形なので、他の辺の長さは$\frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

$\sqrt{2}\approx 1.41$なので、$1.41 \times 2 \sqrt{2}\approx 4$ であることを確認する。一辺$\sqrt{2}$ もう一辺$2\sqrt{2}$の長方形を解答欄の図に書きます。$\sqrt{2}$はおよそ1.414なので、1目盛りの1.4倍が$\sqrt{2}$、1目盛りの2.8倍が$2\sqrt{2}$となります。図は省略します。

3. 最終的な答え

(1) $2 > \sqrt{3}$

(2) $-\sqrt{2} > -3$

(3) $\sqrt{\frac{5}{8}} > \frac{3}{4}$

(1) $x = 5, 6, 7, 8$

(2) $\sqrt{0.5} = 0.7071$

(3) $n = 2, 9, 14, 17, 18$

(4) $n = 2$

(5) $n = 2$

(6) 図は省略