$\lim_{x\to\infty} \sqrt{x}(\sqrt{2x} - \sqrt{2x+1}) = \lim_{x\to\infty} \sqrt{x} \frac{(\sqrt{2x} - \sqrt{2x+1})(\sqrt{2x} + \sqrt{2x+1})}{\sqrt{2x} + \sqrt{2x+1}}$

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1. 問題の内容

与えられた極限の値を計算します。具体的には以下の4つの極限を計算します。

(2) $\lim_{x\to\infty} \sqrt{x}(\sqrt{2x} - \sqrt{2x+1})$

(3) $\lim_{x\to 0} x\sin(\frac{1}{x})$

(4) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{\sin(3x)}$

(6) $\lim_{x\to 1} x^{\frac{1}{1-x}}$

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2. 解き方の手順

**(2) $\lim_{x\to\infty} \sqrt{x}(\sqrt{2x} - \sqrt{2x+1})$**

1. 有理化を行います。分子に $\sqrt{2x} + \sqrt{2x+1}$ を掛け、分母にも同じものを掛けます。

$\lim_{x\to\infty} \sqrt{x}(\sqrt{2x} - \sqrt{2x+1}) = \lim_{x\to\infty} \sqrt{x} \frac{(\sqrt{2x} - \sqrt{2x+1})(\sqrt{2x} + \sqrt{2x+1})}{\sqrt{2x} + \sqrt{2x+1}}$

2. 分子を計算します。

$\lim_{x\to\infty} \sqrt{x} \frac{2x - (2x+1)}{\sqrt{2x} + \sqrt{2x+1}} = \lim_{x\to\infty} \sqrt{x} \frac{-1}{\sqrt{2x} + \sqrt{2x+1}}$

3. $x$ で割ります。

$\lim_{x\to\infty} \frac{-\sqrt{x}}{\sqrt{2x} + \sqrt{2x+1}} = \lim_{x\to\infty} \frac{-1}{\sqrt{2} + \sqrt{2+\frac{1}{x}}}$

4. $x \to \infty$ の極限を計算します。

$\frac{-1}{\sqrt{2} + \sqrt{2+0}} = \frac{-1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

**(3) $\lim_{x\to 0} x\sin(\frac{1}{x})$**

1. $-1 \le \sin(\frac{1}{x}) \le 1$ であることを利用します。

2. $-|x| \le x\sin(\frac{1}{x}) \le |x|$ が成り立ちます。

3. $x\to 0$ のとき、$|x| \to 0$ であるから、挟み撃ちの原理より $\lim_{x\to 0} x\sin(\frac{1}{x}) = 0$

**(4) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{\sin(3x)}$**

1. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(ax)}{ax} = 1$ の性質を利用します。

2. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{\sin(3x)} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot \frac{3x}{\sin(3x)} \cdot \frac{2x}{3x}$

3. $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{\sin(3x)} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{3x}{\sin(3x)} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{2x}{3x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

**(6) $\lim_{x\to 1} x^{\frac{1}{1-x}}$**

1. $y = x^{\frac{1}{1-x}}$ とおきます。両辺の対数をとります。

$\ln y = \frac{1}{1-x}\ln x = \frac{\ln x}{1-x}$

2. $x \to 1$ の極限を考えます。$\lim_{x\to 1} \frac{\ln x}{1-x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x\to 1} \frac{\ln x}{1-x} = \lim_{x\to 1} \frac{\frac{1}{x}}{-1} = \lim_{x\to 1} -\frac{1}{x} = -1$

3. $\lim_{x\to 1} \ln y = -1$ なので、$\lim_{x\to 1} y = e^{-1} = \frac{1}{e}$

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3. 最終的な答え

(2) $-\frac{\sqrt{2}}{4}$

(3) $0$

(4) $\frac{2}{3}$

(6) $\frac{1}{e}$